《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

8. 探究性试题 如图25 - 4 - 7，在Rt△ACB中，∠C = 90°，AC = BC，一块直角三角板的直角顶点O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于E，F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是( )

A.一定相似
B.只有当E是AC中点时相似
C.不一定相似
D.无法判断

答案： 8.A

9. 在△ABC的边BC上取一点D，连接AD，要使△ACD与△ABC相似，应具备下列条件中的( )
$A. \frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
$B. \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
C. AC² = BC·CD
D. AC² = AB·CD

答案： 9.C

10. 在△ABC和△DEF中，已知∠A = ∠D，AB = 4，AC = 3，DE = 1，当DF =______时，△ABC和△DEF相似.

答案： 10.$\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}$

11. 如图25 - 4 - 8，在Rt△ABC中，∠C = 90°，请用尺规作图法，在AB边上确定一点D，使△ABC ∽ △CBD. (不写作法，保留作图痕迹)

答案：
11.解:如图D-25-1,点D即所求.
　　　　　　　

12. 如图25 - 4 - 9，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 2，以AC为边作△ACE，使∠ACE = 90°，AC = CE，延长BC至点D，使CD = 5，连接DE.
求证：△ABC ∽ △CED.

答案： 12.证明:
∵∠B = 90°,AB = 4,BC = 2,
∴AC = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$.
∵CE = AC,
∴CE = 2$\sqrt{5}$.
∵CD = 5,
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{AC}{CD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AC}{CD}$.
∵∠B = 90°,∠ACE = 90°,
∴∠BAC + ∠BCA = 90°,∠BCA + ∠DCE = 90°.
∴∠BAC = ∠DCE.
∴△ABC∽△CED.

13. 如图25 - 4 - 10，△ABO的顶点坐标是A(2，6)，B(3，1)，O(0，0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有______个.

答案： 13.11

14. 如图25 - 4 - 11所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC =______°，BC =______.
(2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论.

答案： 14.解:
(1)∠ABC = 90° + 45° = 135°,
　BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$.
　故答案为135°;2$\sqrt{2}$.
(2)△ABC∽△DEF
　证明:
∵∠ABC = 135°,∠DEF = 90° + 45° = 135°,
∴∠ABC = ∠DEF.
∵AB = 2,BC = 2$\sqrt{2}$,EF = 2,DE = $\sqrt{2}$,
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$,$\frac{BC}{EF}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$ = $\sqrt{2}$,
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{EF}$,
∴△ABC∽△DEF.