《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$a = 1$，则 $\angle B =$______$^{\circ}$，$b =$______，$c =$______。

答案： 1.60 $\sqrt{3}$ 2

2. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$\angle A = 32^{\circ}$，那么 $AC$ 的长约是______（结果精确到 $0.01$）。

答案： 2.8.00

3. 已知在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 5\sqrt{3}$，$AB = 10$，则 $\angle B =$______$^{\circ}$。

答案： 3.60

4. 教材内容改编 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据下列条件解直角三角形。
(1) $a = 2\sqrt{3}$，$b = 6$。
(2) $\angle B = 45^{\circ}$，$c = 10$。

答案： 4. 解：
(1)
∵ $a = 2\sqrt{3}$, $b = 6$,
∴$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\angle A = 30^{\circ}$,
∴$\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$,
∴$c = 2a = 4\sqrt{3}$.
(2)
∵$\angle B = 45^{\circ}$,
∴$\angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$,
∴$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2} × 10 = 5\sqrt{2}$.

5. 如图 26 - 3 - 1，在 $\triangle ABC$ 中，$AC\perp BC$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，点 $D$ 是 $CB$ 延长线上的一点，且 $BD = BA$，则 $\tan\angle DAC$ 的值为( )

A.$2 + \sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3 + \sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

答案： 5.A

6. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$ 为 $BC$ 上一点，$\angle DAC = 30^{\circ}$，$BD = 2$，$AB = 2\sqrt{3}$，则 $AC$ 的长是______。

答案： 6.$\sqrt{3}$

7. 新知探索 把 $(\sin\alpha)^2$ 记作 $\sin^2\alpha$，根据图 26 - 3 - 2 和图 26 - 3 - 3 完成下列各题。
(1) $\sin^2A_1 + \cos^2A_1 =$______，$\sin^2A_2 + \cos^2A_2 =$______，$\sin^2A_3 + \cos^2A_3 =$______。
(2) 观察上述等式猜想：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，总有 $\sin^2A + \cos^2A =$______。
(3) 如图 26 - 3 - 3，在 $Rt\triangle ABC$ 中证明(2)题中的猜想。
(4) 已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$，且 $\sin A = \frac{12}{13}$，求 $\cos A$。

答案： 7. 解：
(1)$\sin^{2}A_{1} + \cos^{2}A_{1} = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$,
$\sin^{2}A_{2} + \cos^{2}A_{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$,
$\sin^{2}A_{3} + \cos^{2}A_{3} = (\frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.
故答案为1,1,1.
(2)1
(3)
∵$\sin A = \frac{a}{c}$, $\cos A = \frac{b}{c}$, 且$a^{2} + b^{2} = c^{2}$,
∴$\sin^{2}A + \cos^{2}A = (\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$,
即$\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$.
(4)在$\triangle ABC$中, $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$,
∴$\angle C = 90^{\circ}$.
∵$\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$,
∴$(\frac{12}{13})^{2} + \cos^{2}A = 1$,
解得$\cos A = \frac{5}{13}$或$\cos A = -\frac{5}{13}$(舍去).
∴$\cos A = \frac{5}{13}$.