《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

23. （10分）如图C-26-15（1）是某种云梯车，如图C-26-15（2）是其示意图，当云梯$OD$升起时，$OD$与底盘$OC$的夹角为$\angle 1$，液压杆$AB$与底盘$OC$的夹角为$\angle 2$。已知液压杆$AB = 3\ \mathrm{m}$，当$\angle 1 = 30^{\circ}$，$\angle 2 = 58^{\circ}$时。（参考数据：$\sin 58^{\circ} \approx 0.8$，$\cos 58^{\circ} \approx 0.5$，$\tan 58^{\circ} \approx 1.6$，$\sqrt{3} \approx 1.73$）
（1）求液压杆顶端$B$到底盘$OC$的距离。
（2）求$AO$的长。（精确到小数点后一位）

答案：
23.解：
(1)如图D - 26 - 11，作BE⊥OC于点E.
∴∠BEO = 90°.
∵AB = 3m，∠2 = 58°
∴BE = AB·$\sin∠2$≈3×0.8 = 2.4(m).
答：液压杆顶端B到底盘OC的距离约为2.4m.
(2)由
(1)得BE = 2.4m.
∵∠1 = 30°，∠BEO = 90°
∴OE = $\sqrt{3}$BE≈1.73×2.4≈4.15(m).
∵∠2 = 58°，AB = 3m
∴AE = 3×$\cos58°$≈3×0.5 = 1.5(m).
∴AO = OE - AE = 4.15 - 1.5≈2.7(m).
答：AO的长约为2.7m.

24. （12分）如图C-26-16所示，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底$M$处出发，向前走$3\ \mathrm{m}$到达$A$处，测得树顶端$E$的仰角为$30^{\circ}$，他又继续走下台阶到达$C$处，测得树顶端$E$的仰角为$60^{\circ}$，再继续向前走到大树底$D$处，测得食堂楼顶$N$的仰角为$45^{\circ}$。已知$A$点离地面的高度$AB = 2\ \mathrm{m}$，$\angle BCA = 30^{\circ}$，且$B$，$C$，$D$三点在同一直线上。
（1）求树$DE$的高度。
（2）求食堂$MN$的高度。

答案：
24.解：
(1)设DE = xm，
∵DF = AB = 2m
∴EF = DE - DF = (x - 2)m
∵∠EAF = 30°
∴AF = $\frac{EF}{\tan\angle EAF} = \frac{x - 2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}(x - 2)$(m).
又
∵CD = $\frac{DE}{\tan\angle DCE} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x$(m)
∴BD = BC + CD = (2$\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x$)m.
由AF = BD可得$\sqrt{3}(x - 2) = 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x$
解得x = 6.
答：树DE的高度为6m.
(2)如图D - 26 - 12所示，延长NM交DB的延长线于点P，则AM = BP = 3m.由
(1)知CD = $\frac{\sqrt{3}}{3}x = \frac{\sqrt{3}}{3}×6 = 2\sqrt{3}$(m)
BC = 2$\sqrt{3}$m
∴PD = BP + BC + CD = 3 + 2$\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (3 + 4\sqrt{3})$(m).
∵∠NDP = 45°，
∴NP = PD = (3 + 4$\sqrt{3}$)m.
又
∵MP = AB = 2m
∴MN = NP - MP = 3 + 4$\sqrt{3} - 2 = (1 + 4\sqrt{3})$(m).
答：食堂MN的高度为(1 + 4$\sqrt{3}$)m.