《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

5. 用适当的方法解下列方程.
(1) $(x + 4)^2 = 5(x + 4)$.
(2) $2x^2 - 10x = 3$.

答案：
(1)移项,得$(x + 4)^{2} - 5(x + 4) = 0$.
分解因式,得$(x + 4)(x + 4 - 5) = 0$,
$x + 4 = 0$,$x + 4 - 5 = 0$,解得$x_1 = -4$,$x_2 = 1$.
(2)$2x^{2} - 10x = 3$,移项,得$2x^{2} - 10x - 3 = 0$.
$\because b^{2} - 4ac = (-10)^{2} - 4 × 2 × (-3) = 124$,
$\therefore x = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2 × 2}$,$\therefore x_1 = \frac{5 + \sqrt{31}}{2}$,$x_2 = \frac{5 - \sqrt{31}}{2}$.

6. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2(k - 1)x + k^2 = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围.
(2) 若该方程的一个根为 $-2$，求方程的另一个根.

答案：
(1)$\because$关于$x$的方程$x^{2} - 2(k - 1)x + k^{2} = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta = [-2(k - 1)]^{2} - 4k^{2} = -8k + 4 ＞ 0$,$\therefore k ＜ \frac{1}{2}$.
(2)将$x = -2$代入原方程,得$4 + 4(k - 1) + k^{2} = 0$,
解得$k_1 = 0$,$k_2 = -4$.
当$k = 0$时,方程的另一个根为$0$;
当$k = -4$时,方程的另一个根为$(-4)^{2} ÷ (-2) = -8$.
综上,方程的另一个根为$0$或$-8$.

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x - m + 1 = 0$.
(1) 若 $x = 3$ 是此方程的一个根，求 $m$ 的值和它的另一个根.
(2) 若方程 $x^2 - 2x - m + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，试判断另一个关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m - 2)x + 1 - 2m = 0$ 的根的情况.

答案：
(1)$\because x = 3$是该方程的一个根，
$\therefore 9 - 6 - m + 1 = 0$,解得$m = 4$,$\therefore$方程为$x^{2} - 2x - 3 = 0$,
解得$x = 3$或$x = -1$,即方程的另一个根为$x = -1$.
(2)$\because$方程$x^{2} - 2x - m + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta ＞ 0$,即$(-2)^{2} - 4(-m + 1) ＞ 0$,解得$m ＞ 0$.
$\because$方程$x^{2} - (m - 2)x + 1 - 2m = 0$的判别式$\Delta' = (m - 2)^{2} - 4(1 - 2m) = m^{2} + 4m$,
$\therefore$当$m ＞ 0$时,$m^{2} + 4m ＞ 0$,
$\therefore$第二个方程有两个不等实根.

8. 方法探索 阅读下面的材料.
为解方程 $(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$，我们可以将 $(x^2 - 1)$ 看作一个整体，设 $x^2 - 1 = y$，那么原方程可化为 $y^2 - 5y + 4 = 0$，解得 $y_1 = 1$，$y_2 = 4$.
当 $y = 1$ 时，$x^2 - 1 = 1$，
$\therefore x^2 = 2$，$\therefore x = \pm\sqrt{2}$；
当 $y = 4$ 时，$x^2 - 1 = 4$，
$\therefore x^2 = 5$，$\therefore x = \pm\sqrt{5}$.
故原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$，$x_3 = \sqrt{5}$，$x_4 = -\sqrt{5}$.
上述解题方法称为换元法.
请利用换元法解方程：$(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) - 12 = 0$.

答案： 设$x^{2} - x = y$,那么原方程可化为$y^{2} - 4y - 12 = 0$,
解得$y_1 = 6$,$y_2 = -2$.
当$y = 6$时,$x^{2} - x = 6$,即$x^{2} - x - 6 = 0$,
$\therefore x_1 = 3$,$x_2 = -2$.
当$y = -2$时,$x^{2} - x = -2$,即$x^{2} - x + 2 = 0$,
$\because \Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × 2 ＜ 0$,
$\therefore$方程无实数解.
$\therefore$原方程的解为$x_1 = 3$,$x_2 = -2$.