《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 下列各等式正确的为(D)

A.$ \log_{2}3 · \log_{2}5 = \log_{2}(3 × 5) $
B.$ \lg 3 + \lg 4 = \lg(3 + 4) $
C.$ \log_{2}\frac{x}{y} = \log_{2}x - \log_{2}y $
D.$ \lg \sqrt[n]{m} = \frac{1}{n}\lg m(m ＞ 0, n ＞ 1, n \in \mathbf{N}^{*}) $

答案： 1.D 解析：A: $\log_2(3 × 5) = \log_23 + \log_25 \neq \log_23 · \log_25$，错误；B: $\lg3 + \lg4 = \lg(3 × 4) \neq \lg(3 + 4)$，错误；C: 当$x, y$均为负数时，等式右边无意义，错误；D: $\lg \sqrt[n]{m} = \frac{1}{n} \lg m$且$m ＞ 0, n ＞ 1, n \in \mathbf{N}^*$，正确.
故选D.

2. 已知 $ 2^{x} = 24^{y} = 3 $，则 $ \frac{3y - x}{xy} $ 的值为(C)

A.1
B.0
C.-1
D.2

答案： 2.C 解析：因为$2^x = 24^y = 3$，所以$x = \log_23, y = \log_{24}3$，由换底公式和对数的运算性质可得$\frac{3y - x}{xy} = \frac{3}{y} - \frac{1}{x} = \frac{3}{\log_32} - \frac{1}{\log_{24}3} = 3\log_23 - \log_324 = \log_38 - \log_324 = \log_3\frac{8}{24} = \log_3\frac{1}{3} = -1$. 故选C.

3. 设 $ a, b, c $ 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是(B)

A.$ \log_{a}b · \log_{c}b = \log_{c}a $
B.$ \log_{a}b · \log_{c}a = \log_{c}b $
C.$ \log_{a}(bc) = \log_{a}b · \log_{a}c $
D.$ \log_{a}(b + c) = \log_{a}b + \log_{a}c $

答案： 3.B 解析：由$\log_b a · \log_b b = \frac{\lg b}{\lg a} · \frac{\lg b}{\lg c} \neq \log_a a$，A错误；由$\log_b a · \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} · \frac{\lg a}{\lg b} = \log_b b$，B正确；对选项C、D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选B.

4. 已知 $ 2^{a} = 3^{b} = m $ 且 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 $，则 $ m $ 等于(A)

A.$ \sqrt{6} $
B.6
C.12
D.36

答案： 4.A 解析：由$2^a = 3^b = m$得$a = \log_2m, b = \log_3m$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \log_m2 + \log_m3 = \log_m6 = 2, m^2 = 6, m = \sqrt{6}$(负值舍去)，故选A.

5. 若 $ 2\lg(x - 2y) = \lg x + \lg y(x ＞ 2y ＞ 0) $，则 $ \frac{y}{x} $ 的值为(D)

A.4
B.1 或 $ \frac{1}{4} $
C.1 或 4
D.$ \frac{1}{4} $

答案： 5.D 解析：$\because 2\lg(x - 2y) = \lg x + \lg y (x ＞ 2y ＞ 0)$，$\therefore \lg(x - 2y)^2 = \lg xy, \therefore (x - 2y)^2 = xy$，$\therefore x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \therefore (x - y)(x - 4y) = 0$，$\therefore x = y$或$x = 4y. \because x - 2y ＞ 0$，且$x ＞ 0, y ＞ 0$，$\therefore x \neq y, \therefore \frac{y}{x} = \frac{1}{4}$.

6. 某种食品因存放不当受到细菌的侵害。据观察，此食品中细菌的个数 $ y $ 与经过的时间 $ t $(单位：min)满足关系 $ y = 2^{t} $，若细菌繁殖到 3 个，6 个，18 个所经过的时间分别为 $ t_{1}, t_{2}, t_{3} $，则有(C)

A.$ t_{1} · t_{2} = t_{3} $
B.$ t_{1} + t_{2} ＞ t_{3} $
C.$ t_{1} + t_{2} = t_{3} $
D.$ t_{1} + t_{2} ＜ t_{3} $

答案： 6.C 解析：由题意，得$2^{t_1} = 3, 2^{t_2} = 6, 2^{t_3} = 18$，则$t_1 = \log_23, t_2 = \log_26, t_3 = \log_218$，所以$t_1 + t_2 = \log_23 + \log_26 = \log_218 = t_3$.

7. 计算：$ 27^{\frac{1}{3}} + \lg 4 + 2\lg 5 - e^{\ln 3} = $2。

答案： 7.2 解析：$27^{\frac{2}{3}} + \lg4 + 2\lg5 - e^{\ln3} = (3^3)^{\frac{2}{3}} + (\lg4 + \lg25) - e^{\ln3} = 3^2 + 2 - 3 = 2$.

8. $ \log_{3}5\log_{4}6\log_{5}7\log_{6}8\log_{7}9 = $3。

答案： 8.3 解析：$\log_56\log_67\log_78\log_89 = \frac{\lg6}{\lg5} · \frac{\lg7}{\lg6} · \frac{\lg8}{\lg7} · \frac{\lg9}{\lg8} = \frac{\lg9}{\lg5} = \frac{3\lg2 · 2\lg3}{\lg3 · \lg2} = 3$.

9. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，对任意实数 $ x $ 都有 $ f(4 + x) + f(x) = 0 $，且当 $ 0 ＜ x ＜ 4 $ 时，$ f(x) = \log_{4}x $，则 $ f(2022) = $$-\frac{1}{2}$。

答案： 9.$-\frac{1}{2}$ 解析：因为$f(4 + x) + f(x) = 0$，所以$f(8 + x) + f(4 + x) = 0$，所以可得$f(8 + x) = f(x), f(x) = f(x + 8k), k \in \mathbf{Z}$.对$f(4 + x) + f(x) = 0$，令$x = 2$，故可得$f(6) = -f(2) = -\log_42 = -\frac{1}{2}$.即$f(2022) = -\frac{1}{2}$. 故答案为$-\frac{1}{2}$.

10. 如果关于 $ \lg x $ 的方程 $ \lg^{2}x + (\lg 7 + \lg 5)\lg x + \lg 7 · \lg 5 = 0 $ 的两个根是 $ \lg \alpha, \lg \beta (\alpha ＞ 0, \beta ＞ 0) $，那么 $ \alpha \beta $ 的值是$\frac{1}{35}$。

答案： 10.$\frac{1}{35}$ 解析：由题意，得$\lg\alpha + \lg\beta = -(\lg7 + \lg5) = \lg\frac{1}{35}$，所以$\lg(\alpha\beta) = \lg\frac{1}{35}$，故$\alpha\beta = \frac{1}{35}$.

11. 计算：
(1) $ \frac{\lg 2 + \lg 5 - \lg 8}{\lg 50 - \lg 40} $；
(2) $ \lg \frac{1}{2} - \lg \frac{5}{8} + \lg \frac{5}{4} - \log_{9}2 · \log_{4}3 $。

答案： 11.解：
(1)原式$= \frac{\lg \frac{2 × 5}{8}}{\lg \frac{50}{40}} = 1$.
(2)(方法一)原式$= \lg \frac{2}{5} + \lg \frac{5}{4} - \frac{\lg2}{\lg9} × \frac{\lg3}{\lg4} = \lg \left( \frac{4}{5} × \frac{5}{4} \right) - \frac{\lg2}{2\lg3} × \frac{\lg3}{2\lg2} = \lg1 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.
(方法二)原式$= (\lg1 - \lg2) - (\lg5 - \lg8) + (\lg5 - \lg4) - \frac{\lg2}{\lg9} × \frac{\lg3}{\lg4} = -\lg2 + \lg8 - \lg4 - \frac{\lg2}{2\lg3} × \frac{\lg3}{2\lg2} - (\lg2 + \lg4) + \lg8 - \frac{1}{4} = -\lg(2 × 4) + \lg8 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.