《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

4. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查 20 个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是(D)



A.甲班众数小于乙班众数
B.乙班成绩的 75 百分位数为 79
C.甲班的中位数为 74
D.甲班平均数大于乙班平均数估计值

答案： 4.D　解析：由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为$(0.020 + 0.025 + 0.030) × 10 = 0.75$，故乙班成绩的75百分位数为80，B错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C错误；甲班平均数为$\bar{x}_{甲} = \frac{57 × 2 + 58 + 59 + 67 + 68 × 2 + 69 × 2 + 79 × 6 + 87 + 88 × 2 + 89 + 98}{20} = 74.8$，乙班平均数估计值为$\bar{x}_{乙} = 10(55 × 0.02 + 65 × 0.025 + 75 × 0.03 + 85 × 0.02 + 95 × 0.005) = 71.5 ＜ 74.8$，即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，故选D.

5. 为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲、乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲、乙两个小组各自随机抽取了 20 株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表(频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，则下列结论正确的是(C)


A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数
B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数
C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数
D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数

答案： 5.C　解析：由茎叶图可知，甲组20个数据从小到大排列依次为：158,163,163,166,171,171,172,173,173,174,174,175,176,178,178,178,183,187,188,199.其中位数为中间两个数(第10个与第11个)的平均数，即$\frac{174 + 174}{2} = 174$，平均数为$\frac{1}{20} × (158 + 163 + 163 + 166 + 171 + 171 + 172 + 173 + 173 + 174 + 174 + 175 + 176 + 178 + 178 + 178 + 183 + 187 + 188 + 199) = 175$.由频率分布直方图，中位数定义及直方图中数据关于中间组对称；乙组数据的中位数的估计值为最高矩形的中点，即175，平均数的估计值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，即平均数为$155 × 0.1 + 165 × 0.2 + 175 × 0.4 + 185 × 0.2 + 195 × 0.1 = 175$.$\therefore$甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数.故选C.