《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 若三个变量 $ y_1,y_2,y_3 $，随着变量 $ x $ 的变化情况如下表.

则关于 $ x $ 分别呈函数模型：$ y = m\log_a x + n $，$ y = pa^x + q $，$ y = kx^a + t $ 变化的变量依次是(B)

A.$ y_1,y_2,y_3 $
B.$ y_3,y_2,y_1 $
C.$ y_1,y_3,y_2 $
D.$ y_3,y_1,y_2 $

答案： 1.B 解析:由表可知,$y_2$随着$x$的增大而迅速的增大,是指数函数型的变化,$y_3$随着$x$的增大而增大,但是变化缓慢,是对数函数型的变化,$y_1$相对于$y_2$的变化要慢一些,是幂函数型的变化.故选B.

2. 函数 $ f(x) = 2^x + x - 4 $ 的一个零点所在区间为(C)

A.$ (-1,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (1,2) $
D.$ (3,4) $

答案： 2.C 解析:由题意知,$f(0)=2^0 + 0 - 4 = -3 ＜ 0$,$f(1)=2^1 + 1 - 4 = -1 ＜ 0$,$f(2)=2^2 + 2 - 4 = 2 ＞ 0$,$f(3)=2^3 + 3 - 4 = 7 ＞ 0$,$f(4)=2^4 + 4 - 4 = 16 ＞ 0$,因为$f(1) · f(2) ＜ 0$,所以$(1,2)$是函数$f(x)$的零点所在的一个区间.故选C.

3. 函数 $ f(x) = x^2 + x - 1 $，用二分法求方程 $ x^2 + x - 1 = 0 $ 在 $ x \in (0,1) $ 内近似解的过程中得 $ f(0) ＜ 0 $，$ f(\frac{1}{4}) ＜ 0 $，$ f(\frac{1}{2}) ＜ 0 $，$ f(\frac{3}{4}) ＞ 0 $，$ f(1) ＞ 0 $，则方程的根落在区间(C)

A.$ (0,\frac{1}{4}) $
B.$ (\frac{1}{4},\frac{1}{2}) $
C.$ (\frac{1}{2},\frac{3}{4}) $
D.$ (\frac{3}{4},1) $

答案： 3.C 解析:$f(0) ＜ 0$,$f(1) ＞ 0$,$f(\frac{1}{2}) ＜ 0$,函数$f(x)=x^2 + x - 1$在$(0,1)$上单调递增,
由$f(\frac{1}{2})f(1) ＜ 0$,所以零点在区间$(\frac{1}{2},1)$内,
由$f(\frac{1}{2})f(\frac{3}{4}) ＜ 0$,所以零点在区间$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$内.故选C.

4. 某大型家电商场，在一周内，计划销售 $ A,B $ 两种电器，已知这两种电器每台的进价都是 1 万元，若厂家规定，一家商场进货 $ B $ 的台数不高于 $ A $ 的台数的 2 倍，且进货 $ B $ 至少 2 台，而销售 $ A,B $ 的售价分别为 12000 元/台和 12500 元/台，若该家电商场每周可以用来进货 $ A,B $ 的总资金为 6 万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售 $ A,B $ 电器的总利润(利润 = 售价 - 进价)的最大值为(D)

A.1.2 万元
B.2.8 万元
C.1.6 万元
D.1.4 万元

答案： 4.D 解析:设该卖场在一周内进货B的台数为$x$台,则一周内进货A的台数为$(6 - x)$,
设该卖场在一周内销售A,B电器的利润为$y$万元,
由题意可得$\begin{cases}x \geq 2, \\x \leq 2(6 - x),\end{cases}$可得$2 \leq x \leq 4$,且$x \in \mathbf{N}$,
$y = 0.2(6 - x) + 0.25x = 0.05x + 1.2$,
函数$y = 0.05x + 1.2$随着$x$的增大而增大,
故$y_{\max} = 0.05 × 4 + 1.2 = 1.4$(万元).故选D.

5. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量 $ E $(单位：焦耳)与地震里氏震级 $ M $ 之间的关系为 $ \lg E = 4.8 + 1.5M $，已知两次地震的里氏震级分别为 8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 $ E_1 $ 和 $ E_2 $，则 $ \frac{E_1}{E_2} $ 的值所在的区间为(B)($ 10^{0.25} \approx 1.77 $)

A.$ (1,2) $
B.$ (5,6) $
C.$ (7,8) $
D.$ (15,16) $

答案： 5.B 解析:$\lg E = 4.8 + 1.5M$,
$\therefore \lg E_1 = 4.8 + 1.5 × 8 = 16.8$,$\lg E_2 = 4.8 + 1.5 × 7.5 = 16.05$,
$\therefore E_1 = 10^{16.8}$,$E_2 = 10^{16.05}$,$\therefore \frac{E_1}{E_2} = 10^{0.75}$.
$\because 10^{0.75} = (10^{0.25})^3 \approx 5.6$,
$\therefore \frac{E_1}{E_2}$的值所在的区间为$(5,6)$.故选B.