《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

3. 2019 年国际泳联世锦赛在韩国光州举行，澳大利亚游泳运动员沙娜·杰克被证实药检阳性。某机构在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题。
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题。
若我们把这种方法用于 300 个被调查的运动员，得到 80 个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%。

答案： 3.3.33% 解析：因为掷硬币出现正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，我们期望大约有150人回答第一个问题。又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂。因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂。

4. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为$Y$（单位：元）。当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出$Y$的所有可能值，并估计$Y$大于零的概率。

答案： 4.解：
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为$\frac{2 + 16 + 36}{90}$ = 0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25℃，则$Y = 6×450 - 4×450$ = 900；若最高气温位于区间[20,25)(单位：℃)，则$Y = 6×300 + 2×(450 - 300) - 4×450$ = 300；若最高气温低于20℃，则$Y = 6×200 + 2×(450 - 200) - 4×450$ = -100；即Y的所有可能值为 - 100，300，900，最高气温不低于20℃的频率为$\frac{36 + 25 + 7 + 4}{90}$ = 0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8。

5. 某活动小组为了估计装有 5 个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共 20 组进行摸球试验。其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做 400 次试验，汇总起来后，摸到红球次数为 6000 次。
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
（2）请你估计袋中红球的个数。

答案： 5.解：
(1)因为$20×400$ = 8000，所以摸到红球的频率为$\frac{6000}{8000}$ = 0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75。
(2)设袋中红球有$x$个，根据题意得：$\frac{x}{x + 5}$ = 0.75，解得$x$ = 15，经检验$x$ = 15是原方程的解。所以估计袋中红球有15个。