《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

12. 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
（1）在图中做出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？

答案：
12.解析：
(1) 
(2)质量指标值的样本平均数为$\bar{x} = 80 × 0.06 + 90 × 0.26 + 100 × 0.38 + 110 × 0.22 + 120 × 0.08 = 100$，质量指标值的样本方差为$s^2 = (-20)^2 × 0.06 + (-10)^2 × 0.26 + 0 × 0.38 + 10^2 × 0.22 + 20^2 × 0.08 = 104$.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38 + 0.22 + 0.08 = 0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.

1. 某市为了解全市 12000 名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了 1000 名学生进行体能测试，并将这 1000 名的体能测试成绩整理成频率分布直方图。根据此频率分布直方图，下列结论中，正确的是(B)

A.图中 a 的值为 0.020
B.同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这 1000 名学生的平均成绩约为 80.5
C.估计样本数据的 75%分位数为 88
D.由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异(80 分及以上)的人数约为 5000 人

答案： 1.B 解析：A.由频率分布直方图可知，$10 × (0.005 + a + 0.02 + 0.04 + 0.015) = 1$，得：$a = 0.015$，故A错误；B.$(55 × 0.005 + 65× 0.015 + 75 × 0.02 + 85 × 0.04 + 95 × 0.02) × 10 = 80.5$，故B正确；C.设75%百分位数$x$，易得$x \in [80,90)$，则$10 × 0.005 + 10 × 0.015 + 10 × 0.02 + (x - 80) × 0.04 = 0.75$，解得：$x = 88.75$，故C错误；D.体测成绩在$[80,100]$的频率为$10 × 0.04 + 10 × 0.02 = 0.6$，估计全市高一学生体测成绩优异(80分及以上)的人数约为$12000 × 0.6 = 7200$人，故D错误.故选B.