《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

11. 求函数$y = x^{2} + 4x + 3$，$x \in (-\infty,-2]$的反函数，并求反函数的定义域和值域。

答案： 11.解：由已知得$x^{2}+4x + 3 - y = 0$，
解得$x=\frac{-4\pm\sqrt{16 - 4(3 - y)}}{2}=-2\pm\sqrt{1 + y}$.
$\because x\in(-\infty,-2]$，$\therefore x=-2-\sqrt{1 + y}$，
因此所求的反函数是$y=-2-\sqrt{1 + x}$，定义域是$[-1,$
$+\infty)$，值域是$(-\infty,-2]$.

12. 求下列函数的反函数：
(1)$f(x) = \sqrt{x^{2} + x}(x\leqslant -1)$；
(2)$f(x) =\begin{cases}x^{2} - 1(0\leqslant x\leqslant 1),\\x^{2}(-1\leqslant x ＜ 0);\end{cases}$
(3)$y = x^{3} - 3x^{2} + 3x + 1$。

答案： 12.解：
(1)由$y=\sqrt{x^{2}+x}(x\leq - 1)$得$y^{2}=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}(x\leq - 1)$，
$\therefore x+\frac{1}{2}=-\sqrt{y^{2}+\frac{1}{4}}(y\geq0)$，
$\therefore$所求函数的反函数为$y=-\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{4}}(x\geq0)$.
(2)当$0\leq x\leq1$时，得$x=\sqrt{y + 1}(-1\leq y\leq0)$，
当$-1\leq x＜0$时，得$x=-\sqrt{y}(0＜y\leq1)$，
$\therefore$所求函数的反函数为$y=\begin{cases}\sqrt{x + 1}(-1\leq x\leq0),\\-\sqrt{x}(0＜x\leq1).\end{cases}$
(3)由$y = x^{3}-3x^{2}+3x + 1$得$y=(x - 1)^{3}+2$，
$\therefore x = 1+\sqrt[3]{y - 2}(y\in\mathbf{R})$，
$\therefore$所求反函数为$f^{-1}(x)=1+\sqrt[3]{x - 2}(x\in\mathbf{R})$.

1. 若$f(x)$是对数函数，且$f(16) = 4$，则$f(x)$的解析式是(A)

A.$f(x) = \log_{2}x$
B.$f(x) = \log_{4}x$
C.$f(x) = \log_{16}x$
D.$f(x) = \log_{\frac{1}{4}}x$

答案： 1.A

2. 函数$y = f(x)$是$y = a^{x}(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$的反函数，则下列结论错误的是(D)

A.$f(x^{2}) = 2f(x)$
B.$f(2x) = f(x) + f(2)$
C.$f(\frac{1}{2}x) = f(x) - f(2)$
D.$f(x^{2} + 2x) = 2f(x) + 2$

答案： 2.D

3. 函数$y = \frac{1 - ax}{1 + ax}(x \neq -\frac{1}{a},x \in \mathbf{R})$的图像关于$y = x$对称，则$a =$ 1。

答案： 3.1 解析：由$y=\frac{1 - ax}{1 + ax}(x\neq-\frac{1}{a},x\in\mathbf{R})$得$x=\frac{1 - y}{a(y + 1)}$
$(y\neq - 1)$，
$\therefore f^{-1}(x)=\frac{1 - x}{a(x + 1)}(x\neq - 1)$.
由题知：$f(x)=f^{-1}(\frac{1 - x}{a(x + 1)}=\frac{1 - ax}{1 + ax}$，故$a = 1$.

4. 若$(2,1)$既在$f(x) = \sqrt{mx + n}$的图像上，又在它反函数图像上，则$m =$ -3，$n =$ 7。

答案： 4.-3 7 解析：$\because(2,1)$既在$f(x)=\sqrt{mx + n}$的图像上，
又在它反函数图像上，
$\therefore\begin{cases}f(1)=2,\\f(2)=1,\end{cases}\therefore\begin{cases}\sqrt{m + n}=2,\\\sqrt{2m + n}=1,\end{cases}\begin{cases}m=-3,\\n=7.\end{cases}$

5. 设函数$f(x) = \frac{1 - 2x}{1 + x}$，又函数$g(x)$与$y = f^{-1}(x + 1)$的图像关于$y = x$对称，求$g(2)$的值。

答案： 5.解法一：由$y=\frac{1 - 2x}{1 + x}$得$x=\frac{1 - y}{y + 2}$，
$\therefore f^{-1}(x)=\frac{1 - x}{x + 2}$，$f^{-1}(x + 1)=\frac{-x}{x + 3}$，
$\therefore g(x)$与$y=\frac{-x}{x + 3}$互为反函数，
由$2=\frac{-x}{x + 3}$，得$g(2)= - 2$.
解法二：由$y = f^{-1}(x + 1)$得$x = f(y) - 1$，
$\therefore g(x)=f(x)-1$，$\therefore g(2)=f(2)-1=-2$.

6. 已知$f(x) = \frac{a· 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}(a \in \mathbf{R})$，是$\mathbf{R}$上的奇函数。
(1)求$a$的值；(2)求$f(x)$的反函数。

答案： 6.解：
(1)由题知$f(0)=0$，得$a = 1$，
此时$f(x)+f(-x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}+\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}$
$=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}+\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}=0$，
即$f(x)$为奇函数.故当$a = 1$时，$f(x)$为奇函数.
(2)$\because y=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=1-\frac{2}{2^{x}+1}$，得$2^{x}=\frac{1 + y}{1 - y}(-1＜y＜1)$，
$\therefore f^{-1}(x)=\log_{2}\frac{1 + x}{1 - x}(-1＜x＜1)$.