《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

7. (多选)已知集合$A$是集合$B$的真子集，下列关于非空集合$A$，$B$的四个命题：
①若任取$x\in A$，则$x\in B$是必然事件：
②若任取$x\notin A$，则$x\in B$是不可能事件；
③若任取$x\in B$，则$x\in A$是随机事件；
④若任取$x\notin B$，则$x\notin A$是必然事件。
其中正确的命题有(ACD)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案：
7.ACD 解析：因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：

对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确；所以①③④正确.
故选ACD.

8. 从存放号码分别为 1，2，3，…，10 的卡片的盒里，有放回地取 100 次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：

取到号码为奇数的样本点有58个。

答案： 8.58 解析：根据表格结合样本点的概念可知取到奇数号码的次数为58，故取到号码为奇数的样本点为58.

9. 在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：
$A = \{出现 1 点\}$；$B = \{出现 2 点\}$；$C = \{出现 3 点\}$；$D = \{出现 4 点\}$；$E = \{出现 5 点\}$；$F = \{出现 6 点\}$；$G = \{出现的点数不大于 1\}$；$H = \{出现的点数小于 5\}$；$I = \{出现奇数点\}$；$J = \{出现偶数点\}$。请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)$B$⊆$H$；(2)$D$⊆$J$；
(3)$E$⊆$I$；(4)$A$=$G$。

答案： 9.
(1)⊆
(2)⊆
(3)⊆
(4)= 解析：当事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I.易知事件A与事件G相等，即A=G.

10. 给出以下三个命题：(1)将一枚质地均匀地硬币抛掷两次，记事件$A$：“二次都出现正面”，事件$B$：“二次都出现反面”，则事件$A$与事件$B$是对立事件；(2)在命题(1)中，事件$A$与事件$B$是互斥事件；(3)在 10 件产品中有 3 件是次品，从中任取 3 件，记事件$A$：“所取 3 件中最多有 2 件是次品”，事件$B$：“所取 3 件中至少有 2 件是次品”，则事件$A$与事件$B$是互斥事件，其中真命题的个数是1个。
三、解答题

答案： 10.1 解析：命题
(1)是假命题，命题
(2)是真命题，命题
(3)是假命题，对于
(1)
(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于
(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件.

11. 从含有两件正品$a_{1}$，$a_{2}$和一件次品$b_{1}$的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，前后取两次。
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）$E_{2}$：取出两件产品中恰有一件次品，写出$E_{2}$的样本空间。

答案： 11.解：
(1)试验样本空间为：Ω₁={(a₁,a₂),(a₁,b₁),(a₂,b₁),(a₂,a₁),(b₁,a₁),(b₁,a₂)}.
(2)E₂的样本空间为：Ω₂={(a₁,b₁),(a₂,b₁),(b₁,a₁),(b₁,a₂)}.

12. 台风在危害人类的同时，也在保护人类。台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡。甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率。

答案： 12.解：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C，不准确分别记为$\overline{A},\overline{B},\overline{C}，$
则P(A)=0.8,P(B)=0