《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 若函数 $ y=(m^{2}-m - 1)· m^{x} $ 是指数函数，则 $ m = $(C)

A.$-1$ 或 $ 2 $
B.$-1$
C.$ 2 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 1.C 解析：由题意可得$\begin{cases}m^{2}-m - 1 = 1,\\m ＞ 0,\\m\neq 1,\end{cases}$解得$m = 2$. 故选C.

2. 已知对于任意实数 $ a(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，函数 $ f(x)=7 + a^{x - 1} $ 的图像恒过点 $ P $，则点 $ P $ 的坐标是(A)

A.$ (1,8) $
B.$ (1,7) $
C.$ (0,8) $
D.$ (8,0) $

答案： 2.A

3. 如图所示，函数 $ y = |2^{x} - 2| $ 的图像是(B)

答案： 3.B 解析：$\because y = |2^{x}-2|=\begin{cases}2^{x}-2,x\geqslant 1,\\2 - 2^{x},x ＜ 1,\end{cases}\therefore$当$x = 1$时，$y = 0$，排除D；当$x\neq 1$时，$y＞0$，故排除A，C. 故选B.

4. 若 $ a = 5^{\sqrt{3}} $，$ b = 5^{0.3} $，$ c = 0.8^{2} $，则(D)

A.$ b ＞ c ＞ a $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ a ＞ b $
D.$ a ＞ b ＞ c $

答案： 4.D 解析：根据指数函数$y = 5^{x}$的单调性知，$a = 5^{\sqrt{7}}＞5^{0.3}=b＞5^{0}=1$，而$c = 0.8^{2}=0.64$，则$a ＞ b ＞ c$，故选D.

5. 函数 $ y = (\frac{1}{2})^{-x^{2} + x + 2} $ 的单调递增区间是(C)

A.$ (-1,\frac{1}{2}) $
B.$ (-\infty,\frac{1}{2}) $
C.$ (\frac{1}{2},+\infty) $
D.$ (\frac{1}{2},2) $

答案： 5.C 解析：函数$y = (\frac{1}{2})^{x}$是实数集上的减函数，因为二次函数$y = -x^{2}+x + 2$的开口向下，对称轴为$x = \frac{1}{2}$，所以二次函数$y = -x^{2}+x + 2$在$(-\infty,\frac{1}{2})$时单调递增，在$(\frac{1}{2},+\infty)$时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数$y = (\frac{1}{2})^{-x^{2}+x + 2}$的单调递增区间是$(\frac{1}{2},+\infty)$，故选C.

6. 若函数 $ f(x)=\frac{2^{x} - 1}{2^{x + 1} + a} $ 是奇函数，则使 $ f(x) ＞ \frac{31}{66} $ 成立的 $ x $ 的取值范围

为

(D)

A.$ (-\infty,-5) $
B.$ (-5,0) $
C.$ (0,5) $
D.$ (5,+\infty) $

答案： 6.D 解析：因为$f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x + 1}+a}$是奇函数，
所以$f(1)= -f(-1)$，$\frac{2 - 1}{2^{2}+a}=-\frac{2^{-1}-1}{2^{0}+a}$，解得$a = 2$，
$f(x)＞\frac{31}{66}$，即$\frac{2^{x}-1}{2^{x + 1}+2}＞\frac{31}{66}$，解得$x ＞ 5$. 故选D

7. 函数 $ f(x)=4^{x} - 2^{x + 1} - 1 $ 的值域是[-2,+\infty).

答案： 7.$[-2,+\infty)$ 解析：$\because f(x)=(2^{x})^{2}-2· 2^{x}-1$，令$2^{x}=t(t ＞ 0)$，则$m(t)=t^{2}-2t - 1=(t - 1)^{2}-2(t ＞ 0)$，由$m(t)=(t - 1)^{2}-2(t ＞ 0)$在$t\in(0,1)$单调递减，$t\in(1,+\infty)$单调递增，则$m(t)\geqslant m(1)= - 2$. 故$f(x)$的值域为$[-2,+\infty)$.

8. 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}2^{x},x\leqslant 1,\\x^{2},x ＞ 1,\end{cases}$ 则不等式 $ f(x)\leqslant 1 $ 的解集为 ______ .

答案： 8.$(-\infty,0]$ 解析：因为函数$f(x)=\begin{cases}2^{x},x\leqslant 1,\\x^{2},x ＞ 1,\end{cases}$则不等式$f(x)\leqslant 1$等价于$\begin{cases}x\leqslant 1,\\2^{x}\leqslant 1,\end{cases}$或$\begin{cases}x ＞ 1,\\x^{2}\leqslant 1.\end{cases}$由$\begin{cases}x\leqslant 1,\\2^{x}\leqslant 1,\end{cases}$得$x\leqslant 0$；由$\begin{cases}x ＞ 1,\\x^{2}\leqslant 1,\end{cases}$得方程组无解.所以不等式$f(x)\leqslant 1$的解集为$(-\infty,0]$.

9. 设函数 $ f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},x ＞ 0,\\4^{x},x\leqslant 0.\end{cases}$ 若函数 $ y = f(x) - k $ 存在两个零点，则实数 $ k $ 的取值范围是 ______ .

答案：
9.$(0,1]$ 解析：$\because$函数$y = f(x)-k$存在两个零点，$\therefore$函数$y = f(x)$与$y = k$的图像有两个公共点. 在同一个坐标系中作出它们的图像（如图），由图像可知，实数$k$的取值范围是$(0,1]$.

10. 若函数 $ f(x)=\sqrt{2^{x^{2} + 2ax - a} - 1} $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，则实数 $ a $ 的取值范围是$[-1,0]$.

答案： 10.$[-1,0]$ 解析：依题意，$2^{x^{2}+2ax - a}-1\geqslant 0$对$x\in\mathbf{R}$恒成立，即$x^{2}+2ax - a\geqslant 0$恒成立，$\therefore\Delta = 4a^{2}+4a\leqslant 0$，解得$-1\leqslant a\leqslant 0$.