《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 下列结论正确的是(B)

A.幂函数的图像一定过原点
B.$ \alpha = 1,3,\frac{1}{2} $时，幂函数$ y = x^{\alpha} $是增函数
C.幂函数的图像会出现在第四象限
D.$ y = 2x^{2} $既是二次函数，又是幂函数

答案： 1.B 解析：幂函数图像不一定过原点，例如$y = x^{-1}$，函数的图像不经过原点，故A不正确；
当$a = 1,3,\frac{1}{2}$时，幂函数$y = x,y = x^{3},y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图像可知，幂函数的图像不会出现在第四象限，故C不正确；
函数$y = 2x^{2}$是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如$y = x^{\alpha}(\alpha\in \mathbf{R})$，故D不正确.
故选B.

2. 下列函数中最小值为 2 的是(D)

A.$ y = x^{2} - x + 2 $
B.$ y = x + \frac{1}{x} $
C.$ y = \log_{2}(x^{2} + 1) $
D.$ y = x^{\frac{1}{2}} + 2 $

答案： 2.D 解析：对A：$y = x^{2} - x + 2 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} \geq \frac{7}{4}$，故其最小值为$\frac{7}{4}$，不满足题意；
对B：$y = x + \frac{1}{x}$，当$x ＜ 0$时，$y ＜ 0$，故其最小值不为$2$，不满足题意；
对C：$x^{2} + 1 \geq 1$，故$y = \log_{2}(x^{2} + 1) \geq \log_{2}1 = 0$，故其最小值为$0$，不满足题意；
对D：$y = x^{\frac{1}{2}} + 2$，其为$[0, +\infty)$上的单调增函数，故$y \geq 2$，满足题意.故选D.

3. 若$ a \in \left\{ \frac{1}{2},2,3 \right\} $，则函数$ f(x) = a^{|x|} $与$ g(x) = x^{a} $的部分图像不可能是(C)

答案： 3.C 解析：因为$f(x) = a^{|x|}$，$f(-x) = a^{|-x|} = a^{|x|} = f(x)$，所以函数为偶函数，当$a = \frac{1}{2}$时，$f(x) = (\frac{1}{2})^{|x|}$函数在$(0, +\infty)$上单调递减，$g(x) = x^{\frac{1}{2}}$函数定义域为$[0, +\infty)$且单调递增，故A有可能；
当$a = 3$时，$f(x) = 3^{|x|}$函数在$(0, +\infty)$上单调递增，$g(x) = x^{3}$函数定义域为$(-\infty, +\infty)$且单调递增，故有可能；
当$a = 2$时，$f(x) = 2^{|x|}$函数在$(0, +\infty)$上单调递增，$g(x) = x^{2}$函数定义域为$(-\infty, +\infty)$且在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0, +\infty)$单调递增，故D有可能；
对于C，由题可知关于$y$轴对称的函数为$f(x) = a^{|x|}$，且在$(0, +\infty)$上单调递减，故$a = \frac{1}{2}$，此时$g(x) = x^{\frac{1}{2}}$函数定义域为$[0, +\infty)$且单调递增，故C不可能.故选C.

4. 已知$ a = 1.2^{\frac{1}{2}},b = 0.9^{-\frac{1}{2}},c = \sqrt{1.1} $，则(A)

A.$ c ＜ b ＜ a $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ a ＜ c ＜ b $

答案： 4.A 解析：$b = 0.9^{-\frac{1}{2}} = (\frac{9}{10})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{10}{9})^{\frac{1}{2}}$，
$c = \sqrt{1.1} = 1.1^{\frac{1}{2}}$，
$\because \frac{1}{2} ＞ 0$，且$1.2 ＞ \frac{10}{9} ＞ 1.1$，
$\therefore 1.2^{\frac{1}{2}} ＞ (\frac{10}{9})^{\frac{1}{2}} ＞ 1.1^{\frac{1}{2}}$，即$a ＞ b ＞ c$.

5. 已知幂函数$ f(x) = x^{\alpha} $的图像过点$ \left( \frac{\sqrt{2}}{2},2 \right) $，则下列说法中正确的是(C)

A.$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $
B.$ f(x) $的值域为$ [0, +\infty) $
C.$ f(x) $为偶函数
D.$ f(x) $为减函数

答案： 5.C 解析：因为幂函数$f(x) = x^{\alpha}$的图像过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},2)$，所以$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{\alpha} = 2$，所以$\alpha = -2$，所以$f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}$，定义域为$\{x|x \neq 0\}$，且$f(-x) = (-x)^{-2} = x^{-2} = f(x)$，即$f(x) = x^{-2}$为偶函数，因为$x^{2} ＞ 0$，所以$\frac{1}{x^{2}} ＞ 0$，所以$f(x) \in (0, +\infty)$，故A错误，B错误，C正确，又$y = x^{2}$在$(0, +\infty)$上单调递减，根据偶函数的对称性可得$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，根据D错误；故选C.

6. (多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数$ y = x^{2},x \in [1,2] $与函数$ y = x^{2},x \in [-2,-1] $为“同族函数”。下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是(ACD)

A.$ f(x) = \frac{1}{x^{2}} $
B.$ f(x) = \frac{1}{x} $
C.$ f(x) = x + \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = 2^{x} + 2^{-x} $

答案： 6.ACD 解析：对于A，$f(x) = \frac{1}{x^{2}}$，当定义域分别为$(-1,0)$与$(0,1)$时，值域均为$(1, +\infty)$，所以$f(x) = \frac{1}{x^{2}}$为同族函数，所以A正确；
对于B，$f(x) = \frac{1}{x}$在定义域$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$内，函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，所以B错误；
对于C，$f(x) = x + \frac{1}{x}$定义域为$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$，函数在$(0,1]$上单调递减，在$[1, +\infty)$上单调递增，当定义域分别为$[\frac{1}{2},1]$与$[1,2]$时，值域均为$[2,\frac{5}{2}]$，所以C正确；
对于D，$f(x) = 2^{x} + 2^{-x}$定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x) = 2^{-x} + 2^{x} = f(x)$，函数偶函数，当定义域为$[-1,0]$和$[0,1]$时值域相同，所以D正确.故选ACD.

7. 已知幂函数$ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $，且$ f(3 - 2m) ＞ f(m + 1) $，则$ m $的取值范围是$[-1,\frac{2}{3})$。

答案： 7.$[-1,\frac{2}{3})$解析：$\because f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x},\therefore x \geq 0$，且函数$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$在$[0, +\infty)$上单调递增，而$f(3 - 2m) ＞ f(m + 1)$，
$\begin{cases}3 - 2m \geq 0 \\m + 1 \geq 0 \\3 - 2m ＞ m + 1 \end{cases}$，解得$-1 \leq m ＜ \frac{2}{3}$.故答案为$[-1,\frac{2}{3})$.

8. 已知幂函数$ f(x) = x^{m^{2} - 2m - 3}(m \in \mathbf{Z}) $的图像关于$ y $轴对称，并且$ f(x) $在第一象限内是减函数，则$ m = $1。

答案： 8.1 解析：因为幂函数$f(x) = x^{m^{2} - 2m - 3}(m \in \mathbf{Z})$的图像关于$y$轴对称，所以函数$f(x)$是偶函数，所以$m^{2} - 2m - 3$为偶数，所以$f(x)$在第一象限内是减函数，故$m = 1$.

9. 已知幂函数$ y = f(x) $的图像过点$ (4,2) $，则$ \frac{1}{f(1 - 2x)} $的定义域为$(-\infty,\frac{1}{2})$。

答案： 9.$(-\infty,\frac{1}{2})$解析：$\because y = f(x) = x^{\alpha}$的图像过点$(4,2)$，$\therefore f(x) = \sqrt{x}$，$f(1 - 2x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}}$，$x$应该满足：$1 - 2x ＞ 0$，即$x ＜ \frac{1}{2}$，$\therefore \frac{1}{f(1 - 2x)}$的定义域为$(-\infty,\frac{1}{2})$.故答案为$(-\infty,\frac{1}{2})$.