《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 已知 $2^{a}=5$，$\log_{8}3 = b$，则 $2^{a - 3b}=$(D)

A.$25$
B.$5$
C.$\frac{25}{9}$
D.$\frac{5}{3}$

答案： 1.D解析:由 $\log_83 = b$ 得 $8^b = 3$,即 $2^{3b} = 3$,$\therefore 2^{a - 3b} = \frac{2^a}{2^{3b}} = \frac{2^a}{3}$,故选 D.

2. (多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是(ACD)

A.$10^{0}=1$ 与 $\lg 1 = 0$
B.$\log_{3}9 = 2$ 与 $9^{\frac{1}{2}} = 3$
C.$27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$ 与 $\log_{27}\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$
D.$\log_{5}5 = 1$ 与 $5^{1}=5$

答案： 2.ACD解析:对于A,指数式 $10^0 = 1$ 化为对数式为 $\lg 1 = 0$,A正确;对于B,指数式 $9^{\frac{1}{2}} = 3$ 化为对数式为 $\log_93 = \frac{1}{2}$,B错误;对于C,指数式 $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ 化为对数式为 $\log_{27} \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$,C正确;对于D,指数式 $5^1 = 5$ 化为对数式为 $\log_55 = 1$,D正确,故选ACD.

3. 已知对数式 $\log_{(a + 1)}\frac{2}{4 - a}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围为(B)

A.$(-1,4)$
B.$(-1,0)\cup(0,4)$
C.$(-4,0)\cup(0,1)$
D.$(-4,1)$

答案： 3.B解析:由 $\log_{(a + 1)} \frac{2}{4 - a}$ 有意义可知 $\begin{cases} a + 1 ＞ 0, \\ \frac{2}{4 - a} ＞ 0, \\ a + 1 \neq 1, \end{cases}$ 解得 $-1 ＜ a ＜ 4$,且 $a \neq 0$,所以 $a$ 的取值范围为 $(-1, 0) \cup (0, 4)$.故选B.

4. 已知函数 $f(x)=\begin{cases}\log_{2}x,x\gt0,\\2^{x}+1,x\leq0\end{cases}$ 则 $f(f(\frac{1}{2}))$ 的值为( )

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$3$
D.$5$

答案： 4.B解析:$\because \frac{1}{2} ＞ 0$,$\therefore f(\frac{1}{2}) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$,$\therefore f(f(\frac{1}{2})) = f(-1)$,又$\because -1 \leq 0$,$\therefore f(-1) = 2^{-1} + 1 = \frac{3}{2}$,$\therefore f(f(\frac{1}{2})) = \frac{3}{2}$,故选B.

5. “$\ln x = 1$” 是 “$\ln(x^{2}) = 2$” 的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 5.A解析:当 $\ln x = 1$ 时,$x = e$,则 $\ln(x^2) = \ln(e^2) = 2$,故充分性成立;当 $\ln(x^2) = 2$ 时,$x^2 = e^2$,则 $x = \pm e$,故必要性不成立,所以“$\ln x = 1$”是“$\ln(x^2) = 2$”的充分不必要条件.故选A.

6. 若 $\log_{a}3 = m$，$\log_{a}5 = n$，则 $a^{2m + n}$ 的值是(C)

A.$15$
B.$75$
C.$45$
D.$225$

答案： 6.C解析:由 $\log_a 3 = m$,得 $a^m = 3$,由 $\log_a 5 = n$,得 $a^n = 5$,$\therefore a^{2m + n} = (a^m)^2 · a^n = 3^2 × 5 = 45$.

7. 已知 $\log_{3}[\log_{3}(\log_{4}x)] = 0$，则 $x =$64。

答案： 7.64　解析:$\log_3[\log_3(\log_4x)] = 0 \Rightarrow \log_3(\log_4x) = 1 \Rightarrow \log_4x = 3 \Rightarrow x = 4^3 \Rightarrow x = 64$.

8. $2^{1+\frac{1}{2}·\log_{2}5}$ 的值等于$2\sqrt{5}$。

答案： 8.$2\sqrt{5}$　解析:$2^{1 + \frac{1}{2}\log_25} = 2 × 2^{\frac{1}{2}\log_25} = 2 × (2^{\log_25})^{\frac{1}{2}} = 2 × 5^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{5}$.

9. 若 $f(e^{x}) = x$，则 $f(2)=$$\ln 2$。

答案： 9.$\ln 2$ 解析:由 $e^x = 2$ 可知 $x = \ln 2$,故 $f(2) = \ln 2$.

10. (1) 先将下列式子改写成指数式，再求各式中 $x$ 的值。
① $\log_{2}x = -\frac{2}{5}$；② $\log_{x}3 = -\frac{1}{3}$。
(2) 已知 $6^{a}=8$，试用 $a$ 表示下列各式。
① $\log_{6}8$；② $\log_{6}2$；③ $\log_{2}6$。

答案： 10.解:
(1)①因为 $\log_2x = -\frac{2}{5}$,所以 $x = 2^{-\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[5]{8}}{2}$.②因为 $\log_x3 = -\frac{1}{3}$,所以 $x^{-\frac{1}{3}} = 3$,所以 $x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
(2)①$\log_68 = a$.②由 $6^a = 8$,得 $6^a = 2^3$,即 $6^{\frac{a}{3}} = 2$,所以 $\log_62 = \frac{a}{3}$.③由 $6^a = 2^3$,得 $2^a = 6$,所以 $\log_26 = \frac{3}{a}$.