《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 下列概率模型属于古典概型的是(B)

A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生 5 人，女生 3 人，从中任选 1 人做演讲
C.一只使用中的灯泡的寿命长短
D.中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”

答案： 1. B 解析：平面直角坐标系内横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足古典概型中样本空间有限的特征，A排除；灯泡的寿命长短有无限多种可能，不符合等可能性，C排除；月饼质量评价有主观性，不符合等可能性，D排除；每个人选到的可能性相等且总共有8个人，满足古典概型的特征. 故选B.

2. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为(B)


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{5}{8}$

答案： 2. B 解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

3. 从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为(C)

A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 3. C 解析：[方法一]从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种情况，故概率为$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
[方法二]从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,2)，(6,4)，共12种情况，故概率为$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.
故选C.

4. 从 1，2，3，4 这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为(A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： 4. A 解析：从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

5. 甲、乙两人有三个不同的学习小组 A，B，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 5. A 解析：甲、乙两人参加学习小组，若以(A,B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有如下情形：(A,A)，(A,B)，(A,C)，(B,A)，(B,B)，(B,C)，(C,A)，(C,B)，(C,C)，共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得$P=\frac{1}{3}$.

6. 宇航员小陈从探险的星球上带回绿、蓝、紫 3 块不同的岩石，儿子想要紫色的岩石，他和儿子开玩笑说，他从袋中每次随机摸出 2 块岩石，有放回地摸取三次，如果三次恰有两次摸到紫色岩石就把它送给儿子，则儿子能得到紫色岩石的概率为(D)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{20}{27}$
D.$\frac{4}{9}$

答案： 6. D 解析：小陈每次从袋中随机摸取2块岩石，有（绿，蓝），（绿，紫），（蓝，紫）三种不同的摸法，分别记为A，B，C，他有放回地摸取三次有(AAA)，(AAB)，(ABA)，(BAA)，(AAC)，(ACA)，(CAA)，(BBB)，(ABB)，(BAB)，(BBA)，(BBC)，(BCB)，(CBB)，(CCC)，(CCB)，(CBC)，(BCC)，(CCA)，(ACC)，(CAC)，(ABC)，(ACB)，(BCA)，(CAB)，(CBA)，共27种不同的摸法，恰有两次摸到紫色的有12种不同的摸法，所以儿子得到紫色岩石的概率$P=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.故选D.

7. 若以连续掷两颗骰子分别得到的点数 $m$，$n$ 作为点 $P$ 的横、纵坐标，则点 $P$ 落在 $x^2 + y^2 = 9$ 内的概率为$\frac{1}{9}$。(注：在 $x^2 + y^2 = 9$ 内指 $x^2 + y^2 ＜ 9$)

答案： 7. $\frac{1}{9}$解析：掷骰子共有36种可能情况，而落在$x^{2}+y^{2}=9$内的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率$P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.

8. 甲、乙两人玩数字游戏：先由甲心中任想一个数字记为 $a$，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为 $b$，且 $a$，$b \in \{1,2,3,4,5,6\}$，若 $|a - b| \leq 1$，则称“甲、乙心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为$\frac{4}{9}$。

答案： 8. $\frac{4}{9}$解析：数字$a,b$的所有取法有36种，满足$\vert a - b\vert\leq1$的取法有16种，所以其概率为$P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$.