《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

12. 为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，政府积极引导某村农户因地制宜种植某种经济作物，该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好。为了解该类经济作物在该村的种植效益，该村引进了甲、乙两个品种，现随机抽取了这两个不同品种的经济作物各 100 份（每份 1 千克）作为样本进行检测，检测结果如下表：（同一区间的数据取该区间的中点值作代表）

分别记甲、乙品种质量指标值的样本平均数为 $ \overline{x} $ 和 $ \overline{y} $，样本方差为 $ s_1^2 $ 和 $ s_2^2 $。
（1）现已求得 $ \overline{y}=60 $，$ s_1^2=324.64 $，试求 $ \overline{x} $ 及 $ s_2^2 $，并比较样本平均数与方差的大小；
（2）该经济作物按其质量指标值划分等级如下表：

现利用样本估计总体，试从样本利润平均数的角度分析该村村民种植哪个品种的经济作物获利更多。

答案： 12.解：
(1)$\bar{x} = \frac{1}{100} × (10 × 2 + 30 × 6 + 50 × 24 + 70 × 48 + 90 × 20) = 65.6$，
$s_2^2 = (10 - 60)^2 × 0.02 + (30 - 60)^2 × 0.08 + (50 - 60)^2 × 0.38 + (70 - 60)^2 × 0.42 + (90 - 60)^2 × 0.1 = 292$.
又因为 $\bar{y} = 60$，$s_1^2 = 324.64$，所以 $\bar{x} ＞ \bar{y}$，$s_1^2 ＞ s_2^2$.
(2)分别记甲、乙两品种利润的样本平均数为 $\bar{X},\bar{Y}$，
则 $\bar{X} = \frac{1}{100} × (8 × 10 + 72 × 20 + 20 × 50) = 25.2$(元)，
$\bar{Y} = \frac{1}{100} × (10 × 10 + 80 × 20 + 10 × 50) = 22$(元)，
所以 $\bar{X} ＞ \bar{Y}$，所以从样本利润平均数的角度看种植甲种的经济作物获得的利润更高.

1. 已知一组样本数据共有 9 个数，其平均数为 8，方差为 12。将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为 9，则新的样本数据的方差为(C)

A.18.2
B.19.6
C.19.8
D.21.4

答案： 1.C 解析：设增加的数为 $k$，原来的 9 个数分别为 $a_1,a_2,·s,a_9$，则 $a_1 + a_2 + ·s + a_9 = 72$，$a_1 + a_2 + ·s + a_9 + k = 90$，所以 $k = 18$，
又因为 $\frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9}(a_i - 8)^2 = 12$，即 $\sum_{i = 1}^{9}(a_i - 8)^2 = 108$，
所以 $\frac{1}{10}[\sum_{i = 1}^{9}(a_i - 9)^2 + (k - 9)^2] = \frac{1}{10}[\sum_{i = 1}^{9}(a_i - 8)^2 - 2\sum_{i = 1}^{9}(a_i - 8) + 9 + 81] = 19.8$，故选 C.

2. 小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为 20，方差为 28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将 11 记录为 21，另一个错将 29 记录为 19。在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为 $ \overline{x} $，方差为 $ s^2 $，则(D)

A.$ \overline{x} ＞ 20 $，$ s^2 ＜ 28 $
B.$ \overline{x} ＜ 20 $，$ s^2 ＞ 28 $
C.$ \overline{x} = 20 $，$ s^2 ＜ 28 $
D.$ \overline{x} = 20 $，$ s^2 ＞ 28 $

答案： 2.D 解析：不妨记更正前该组数据为：$x_1,x_2,·s,x_{18}$， 21,19，
则更正后的数据为：$x_1,x_2,·s,x_{18}$,11,29.
由题可知，$\frac{1}{20}(\sum_{i = 1}^{18}x_i + 21 + 19) = 20$，$\frac{1}{20}[\sum_{i = 1}^{18}(x_i - 20)^2 + (21 - 20)^2 + (19 - 20)^2] = 28$，
整理得 $\sum_{i = 1}^{18}x_i = 360$，$\sum_{i = 1}^{18}(x_i - 20)^2 = 558$.
所以 $\bar{x} = \frac{1}{20}(\sum_{i = 1}^{18}x_i + 11 + 29) = 20$，
$s^2 = \frac{1}{20}[\sum_{i = 1}^{18}(x_i - 20)^2 + (11 - 20)^2 + (29 - 20)^2] = \frac{1}{20}(558 + 81 + 81) = 36 ＞ 28$.
故选 D.

3. 已知一组数据 10，5，4，2，2，2，$ x $，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则 $ x $ 所有可能的取值为$-11$ 或 3 或 17。

答案： 3.$-11$ 或 3 或 17 解析：由题意可得这组数据的平均数为：$\frac{10 + 5 + 4 + 2 + 2 + 2 + x}{7} = \frac{25 + x}{7}$，
众数为 2，若 $x \leq 2$，可得 $\frac{25 + x}{7} + 2 = 4$，可得 $x = -11$；
若 $2 \leq x \leq 4$，则中位数为 $x$，可得 $2x = \frac{25 + x}{7} + 2$，可得 $x = 3$；
若 $x \geq 4$，则中位数为 4，可得 $2 × 4 = \frac{25 + x}{7} + 2$，可得 $x = 17$，
故答案为 $-11$ 或 3 或 17.

4. 由正整数组成的一组数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4 $，其平均数和中位数都是 2，且标准差等于 1，则这组数据为1,1,3,3(从小到大排列)。

答案： 4.1,1,3,3 解析：不妨设 $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4$ 且 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 为正整数.
由条件知 $\begin{cases}\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = 2, \frac{x_2 + x_3}{2} = 2.\end{cases}$ 即 $\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8, \\x_2 + x_3 = 4.\end{cases}$
又 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 为正整数，
$\therefore x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 2$ 或 $x_1 = 1,x_2 = x_3 = 2,x_4 = 3$ 或 $x_1 = x_2 = 1,x_3 = x_4 = 3$.
$\because \sqrt{\frac{1}{4}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 + (x_4 - 2)^2]} = 1$，
$\therefore x_1 = x_2 = 1,x_3 = x_4 = 3$.
由此可得 4 个数分别为 1,1,3,3.