《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

2. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2 500，3 000)(元)月收入段应抽出25人。

答案： 错因分析：频率分布直方图中，关键要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.
解：由直方图可得$[2500,3000)$(元)月收入段共有$10000 × 0.0005 × 500=2500(人)$，
按分层抽样应抽出$2500 × \frac{100}{10000}=25(人)$。

3. 从有甲、乙两台机器生产的零件中各随机抽取 15 个进行检验，相关指标的检验结果为：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512；
乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514。
画出上述数据的茎叶图，并分析该图。

答案：

从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些.
对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.

4. 抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6），事件 A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件 B 表示“朝上一面的数不超过 3”，求 P(A∪B)。

答案： 错因分析：事件$A$与$B$不互斥，所以不能用加法公式.“事件和”概率公式应用的前提条件。由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件$A$、$B$同时发生，所以不能应用$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$求解.
正解：将$A \cup B$分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件$C$，出现“5”为事件$D$，则$C$与$D$两事件互斥，
所以$P(A \cup B)=P(C \cup D)=P(C)+P(D)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.
易错点睛 在解决这类问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，则可以将其转化为互斥的事件来求.

5. 有三种产品，合格率分别为 0.90，0.95 和 0.95，各取一件进行检验。
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率。（精确到 0.01）

答案： 错因分析：判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
正解：设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为$A$、$B$和$C$.
(1)因为事件$A$、$B$、$C$相互独立，恰有一件不合格的概率为
$P(\overline{A} · B · C)+P(A · \overline{B} · C)+P(A · B · \overline{C})=P(A) · P(B) · P(C)+P(A) · P(B) · P(C)+P(A) · P(B) · P(C)=0.90 × 0.95 × 0.05+0.90 × 0.05 × 0.95+0.10 × 0.95 × 0.95=0.176$.
(2)(法一)至少有两件不合格的概率为
$P(\overline{A} · \overline{B} · \overline{C})+P(\overline{A} · \overline{B} · C)+P(\overline{A} · B · \overline{C})+P(A · \overline{B} · \overline{C})=0.90 × 0.05+2 × 0.10 × 0.95 × 0.05+0.10 × 0.05^{2}=0.012$.
(法二)三件都合格的概率为$P(A · B · C)=P(A) · P(B) · P(C)=0.90 × 0.95^{2}=0.812$.
由
(1)可知恰好有一件不合格的概率为$0.176$，所以至少有两件不合格的概率为
$1-[P(A · B · C)+0.176]=1-(0.812+0.716)=0.012$.
易错点睛 对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法.一般题中总有关键语句说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法.