《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. (多选)下列说法中，错误的有(CD)

A.根式都可以用分数指数幂来表示
B.分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
C.无理数指数幂有的不是实数
D.有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂

答案： 1.CD 解析：由$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$，$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=a^{-\frac{m}{n}}$，$(n,m\in N^*)$，知根式都可以用分数指数幂来表示，A正确；由$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$，$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=a^{-\frac{m}{n}}$，$(n,m\in N^*)$，知分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法，B正确；实数包括无理数和有理数，所以无理指数幂是实数，C错误；由指数幂的运算法则知：有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂，D错误.故选CD.

2. 下列各式中，成立的是(D)

A.$(\frac{n}{m})^7 = n^7m^{\frac{1}{7}}$
B.$\sqrt[12]{(-3)^4} = \sqrt[3]{-3}$
C.$\sqrt[4]{x^3 + y^3} = (x + y)^{\frac{3}{4}}$
D.$\sqrt{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{3}$

答案： 2.D 解析：对于A，$(\frac{n}{m})^7\neq n^7m^{-7}$，A错误；对于B，$\sqrt[12]{(-3)^4}=\sqrt[12]{3^4}=\sqrt[3]{3}$，B错误；对于C，当$x=1$，$y=2$时，$\sqrt[3]{1^3+2^3}=\sqrt[3]{9}=9^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}$，$(1 + 2)^{\frac{3}{4}}=3^{\frac{3}{4}}$，所以$\sqrt[3]{x^3 + y^3}\neq(x + y)^{\frac{3}{4}}$，C错误；对于D，$\sqrt{\sqrt[3]{9}}=[(3^2)^{\frac{1}{3}}]^{\frac{1}{2}}=3^{2×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}$，D正确.故选D.

3. 若$(x - 2)^{-\frac{3}{4}}$有意义，则实数$x$的取值范围是(C)

A.$[2, +\infty)$
B.$(-\infty, 2]$
C.$(2, +\infty)$
D.$(-\infty, 2)$

答案： 3.C 解析：由负分数指数幂的意义可知，$(x - 2)^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{(x - 2)^3}}$，所以$x - 2＞0$，即$x＞2$，因此$x$的取值范围是$(2,+\infty)$.故选C.

4. 若$a, b \in R$，则“$a ＞ b$”是“$(a + 1)^{\frac{1}{2}} ＞ (b + 1)^{\frac{1}{2}}$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.B 解析：取$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，而$(b + 1)^{\frac{1}{2}}$无意义，即$a＞b$不能推出$(a + 1)^{\frac{1}{2}}＞(b + 1)^{\frac{1}{2}}$；若$(a + 1)^{\frac{1}{2}}＞(b + 1)^{\frac{1}{2}}$，则必有$a + 1＞b + 1\geq0$，即$a＞b$成立，所以“$a＞b$”是“$(a + 1)^{\frac{1}{2}}＞(b + 1)^{\frac{1}{2}}$”的必要不充分条件.故选B.

5. 若$\sqrt{y} - \frac{1}{\sqrt{y}} = m$，则$\frac{1 + y^2}{y}$的结果是(A)

A.$m^2 + 2$
B.$m^2 - 2$
C.$\sqrt{m} + 2$
D.$\sqrt{m} - 2$

答案： 5.A 解析：$m^2=(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}})^2=y+\frac{1}{y}-2$，而$\frac{1 + y^2}{y}=\frac{1}{y}+y=m^2 + 2$，故选A.

6. 已知$10^m = 2$，$10^n = 4$，则$10^{\frac{3m - n}{2}}$的值为(B)

A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 6.B 解析：$10^{\frac{3m - n}{2}}=\frac{(10^m)^3}{(10^n)^{\frac{1}{2}}}=\frac{2^3}{4^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}$.故选B.

7. 化简$\sqrt[3]{-a} · \sqrt[6]{a}$的结果为(A)

A.$-\sqrt{a}$
B.$-\sqrt{-a}$
C.$\sqrt{-a}$
D.$\sqrt{a}$

答案： 7.A 解析：由题意，可知$a\geq0$，$\therefore\sqrt[6]{-a}·\sqrt[6]{a}=(-a)^{\frac{1}{6}}· a^{\frac{1}{6}}=-a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=-a^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{a}$.故选A.

8. 《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“$\frac{天^四}{天^三} = \frac{天^三天}{天^三} = \frac{天}{一}$”来表示“$\frac{x^4}{x^3} = \frac{x^3x}{x^3} = x$”，用“(甲$^{\perp}$乙)$^{\equiv}$ = 甲$^{\equiv\perp}$三甲$^{\equiv}$乙$^{\perp}$三甲乙$^{\equiv\perp}$乙$^{\equiv}$”来表示“$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$”。那么下列表述正确的序号是(A)
①“$\frac{天^八}{天^二} = \frac{天^二天^六}{天^二} = \frac{天^六}{一}$”表示“$\frac{x^8}{x^2} = \frac{x^2x^6}{x^2} = x^6$”；
②“$\frac{天^{二十}}{天^{-七}} = \frac{天^{-七天^三}}{天^{-七}} = \frac{天^三}{一}$”表示“$\frac{x^{20}}{x^{-17}} = \frac{x^{-17}x^3}{x^{-17}} = x^3$”；
③“(甲$^{\perp}$乙)$^{\equiv}$ = 甲$^{\equiv\perp}$二甲乙$^{\perp}$乙$^{\equiv}$”表示“$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$”。

A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②

答案： 8.A 解析：由题知，“$\frac{天四}{天三}-\frac{天三天}{天三一}$”来表示“$\frac{x^4}{x^3}-\frac{x^3x}{x^3}=x$”，相当于同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以①②正确；由“$(甲\perp乙)^三=甲\equiv\perp三甲=乙\perp三甲乙\equiv\perp乙^三$”来表示“$(x + y)^3=x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$”可知$\perp$是加号，所以③是完全平方公式，所以③正确.故选A.