《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

10. 三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠 $A$、$B$、$C$ 能答对题目的概率 $P(A) = \frac{1}{3}$，$P(B) = \frac{1}{4}$，$P(C) = \frac{1}{5}$，诸葛亮 $D$ 能答对题目的概率 $P(D) = \frac{2}{3}$，如果将三个臭皮匠 $A$、$B$、$C$ 组成一组与诸葛亮 $D$ 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？

答案： 10.解：如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥（他们能答对的题目不重复），则$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{47}{60}＞P(D)=\frac{2}{3}，$故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮.

1. 已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买. 经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为 $\frac{4}{5}$，而实体店里家用小电器的合格率约为 $\frac{9}{10}$，工商局 12315 电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为 75％. 那么估计在网上购买家用小电器的人约占(A)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{3}{7}$

答案： 1.A 解析：设在网上购买的人数占比为x，实体店购买的人数占比为1-x，
由题意可得，网上购买的合格率为$\frac{4}{5}，$
则网上购买被投诉的人数占比为$\frac{x}{5}，$实体店里购买的被投诉的人数占比为$\frac{1}{10}(1-x)，$
所以$P=\frac{x}{5}+\frac{3}{4}×\frac{1}{10}(1-x)，$解得$x=\frac{3}{5}.$
故选A.

2. 图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 中的正方形放在图 2 中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是(C)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1

答案： 2.C 解析：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是$\frac{3}{4}.$

3. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 $M$，$I$，$N$ 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是$\frac{1}{15}$。

答案： $3.\frac{1}{15} $解析：第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1，2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为$\frac{1}{15}.$

4. 面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是 $\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$。求：
（1）他们都研制出疫苗的概率；
（2）他们都失败的概率；
（3）他们能够研制出疫苗的概率。

答案： 4.解：令事件A，B，C分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且$P(A)=\frac{1}{5}，$$P(B)=\frac{1}{4}，$$P(C)=\frac{1}{3}.$
(2)他们都失败即事件$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$同时发生.
故$P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$
=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))
$=(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{3})=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{2}{5}.$
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率$P=1-P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.$