《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是(D)

A.至少有 1 个黑球与都是红球
B.至少有 1 个黑球与都是黑球
C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球
D.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球

答案： 1.D

2. 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：

这一地区男婴出生的概率约是(B)

A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7

答案： 2.B 解析：由表格可知，男婴出生的频率依次约为0.49,0.54，0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B

3. 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(C)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： 3.C 解析：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$故选C.

4. 一只猴子任意敲击电脑键盘上的 0 到 9 这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是 3 的倍数的概率为(A)

A.$\frac{9}{100}$
B.$\frac{3}{50}$
C.$\frac{3}{100}$
D.$\frac{2}{9}$

答案： 4.A 解析：任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,·s,9);(1,i)(i=0,1,2,·s,9);
(2,i)(i=0,1,2,·s,9);·s;(9,i)(i=0,1,2,·s,9)，共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6)，共有9种结果，所求的概率为$\frac{9}{100},$故选A.

5. 从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.
用样本频率分布估计总体分布，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm～170.5 cm 之间的概率为$\frac{2}{5}$(用分数表示)。

答案： $5.\frac{2}{5} $解析：样本中有8人身高在$155.5 cm\sim170.5 cm$之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在$155.5 cm\sim170.5 cm$之间的概率为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}.$

6. 某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：

已知月收入在1 000，3 000)内的概率为 0.67，则月收入在1 500，3 000)内的概率为0.55。

答案： 6.0.55 解析：记这个商店月收入在[1000,1500)，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)范围内的事件分别为A,B,C,D，因为事件A,B,C,D互斥，且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67，所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.

7. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为$\frac{2}{3}$。

答案： $7.\frac{2}{3} $解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种.甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种.
所以甲，乙两人相邻而站的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

8. 甲射击一次，中靶的概率是 $p_1$，乙射击一次，中靶的概率是 $p_2$，已知 $\frac{1}{p_1}$，$\frac{1}{p_2}$ 是方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的根，且 $p_1$ 满足方程 $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$，则甲射击一次，不中靶的概率为$\frac{1}{2}$；乙射击一次，不中靶的概率为$\frac{2}{3}$。

答案： $8.\frac{1}{2}-\frac{2}{3} $解析：由$p_1$满足方程$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$知，$p_1^{2}-$
6=0的根，所以$\frac{1}{p_1}·\frac{1}{p_2}=6，$解得$p_2=\frac{1}{3}.$因此甲射击一次，不中靶的概率为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}，$乙射击一次，不中靶的概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

9. 现有编号分别为 1，2，3，4，5 的五道不同的政治题和编号分别为 6，7，8，9 的四道不同的历史题. 甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号 $(x,y)$ 表示事件“抽到的两道题的编号分别为 $x$，$y$，且 $x ＜ y$”。
（1）问有多少个基本事件？请列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于 17 但不小于 11 的概率。

答案： 9.解：
(1)共包括36个等可能的基本事件，列举如下：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9).
(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A，
由第一问可知事件A共包含15个基本事件，列举如下：(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9)，
所以$P(A)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.$
即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为$\frac{5}{12}.$