《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

4. 已知 $ a = 2^{0.2} $，$ b = (\frac{1}{2})^{-0.8} $，$ c = \log_{5}4 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(D)

A.$ b ＜ a ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ c ＜ a ＜ b $

答案： 4.D 解析：因为$y = 2^{x}$在$\mathbf{R}$上为单调递增函数，所以$b = (\frac{1}{2})^{-0.8}=2^{0.8}＞2^{0.2}＞2^{0}=1$，即$b ＞ a ＞ 1$。又$y = \log_{5}x$在$(0,+\infty)$上单调递增函数，所以$c = \log_{5}4＜\log_{5}5 = 1$，所以$c ＜ a ＜ b$。故选D.

5. 如图中有六个函数的图像，已知 $ y = b^{x} $ 的图像与 $ y = \log_{2}x $ 的图像关于 $ y = x $ 对称，依据图像用“$＜$”表示出以下五个量 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $，$ 1 $ 的大小关系，正确的是(C)


A.$ a ＜ c ＜ 1 ＜ b ＜ d $
B.$ a ＜ 1 ＜ d ＜ c ＜ b $
C.$ a ＜ 1 ＜ c ＜ b ＜ d $
D.$ a ＜ 1 ＜ c ＜ d ＜ b $

答案： 5.C 解析：由指数函数的图像和性质得$y = a^{x}$是减函数，$y = b^{x},y = c^{x}$增函数，则$0 ＜ a ＜ 1 ＜ c ＜ b$，因为$y = b^{x}$的图像与$y = \log_{2}x$的图像关于$y = x$对称，由反函数的定义得$b = 2$.当$x＞1$时，$y=\log_{2}x$的图像总在$y = \log_{d}x$的上方，所以$2 ＜ d$，综上所述，$a ＜ 1 ＜ c ＜ b ＜ d$，故选C.

6. 已知 $ f(x)=\begin{cases}(3a - 1)x + 4a,x ＜ 1,\frac{a}{x},x \geq 1\end{cases}$ 是减函数，那么实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ [\frac{1}{6},\frac{1}{3}) $
B.$ (0,\frac{1}{3}) $
C.$ (0,1) $
D.$ [\frac{1}{6},1) $

答案： 6.A 解析：由于函数$f(x)=\begin{cases}\frac{a}{x},x\geq1,\\(3a - 1)x + 4a,x＜1\end{cases}$是减函数，所以$\begin{cases}3a - 1＜0,\\a＞0,\\3a - 1 + 4a\geq a\end{cases}$，解得$\frac{1}{6}\leq a＜\frac{1}{3}$.故选A.

7. 已知幂函数 $ f(x) = (m^{2} + 2m - 2)x^{m} $ 在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减，则 $ g(x) = \log_{a}(x + m) + 2(a ＞ 0) $ 的图像过定点(C)

A.$ (-4,2) $
B.$ (-2,2) $
C.$ (2,2) $
D.$ (4,2) $

答案： 7.C 解析：因为幂函数$f(x)=(m^{2}-2m - 2)x^{m}$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$m^{2}-2m - 2 = 1$，且$m＜0$，解得$m = - 1$，所以$f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$，则$g(x)=\log_{a}(x - 1)+2(a＞0)$，令$x - 1 = 1$，解得$x = 2$，$y = 2$，可得$g(x)$的图像过定点$(2,2)$。故选C.

8. 设函数 $ f(x) = \ln(1 + |x|) - \frac{1}{1 + x^{2}} $，则使得 $ f(x) ＞ f(2x - 1) $ 成立的 $ x $ 的取值范围是(A)

A.$ (\frac{1}{3},1) $
B.$ (-\infty,\frac{1}{3}) \cup (1,+\infty) $
C.$ (-\frac{1}{3},\frac{1}{3}) $
D.$ (-\infty,-\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3},+\infty) $

答案： 8.A 解析：由$f(x)=\ln(1 + |x|)-\frac{1}{1 + x^{2}}$知$x\in\mathbf{R}$，定义域关于原点对称，且$f(-x)=\ln(1+|-x|)-\frac{1}{1+(-x)^{2}}=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数，所以$f(x)＞f(2x - 1)$等价于$f(|x|)＞f(|2x - 1|)$，当$x\geq0$时，$f(x)=\ln(1 + x)-\frac{1}{1 + x^{2}}$在$(0,+\infty)$是增函数，所以$|x|＞|2x - 1|$，两边平方得$3x^{2}-4x + 1＜0$，解得$\frac{1}{3}＜x＜1$，所以不等式的解集为$(\frac{1}{3},1)$。故选A.

9. 以下运算中，正确的是(ABD)

A.若 $ \lg 2 = m $，$ \lg 3 = n $，则 $ \log_{5}24 = \frac{3m + n}{1 - m} $
B.$ (\frac{1}{3})^{-\log_{3}8} - 3\ln(\ln e^{e}) = 5 $
C.若 $ a + a^{-1} = 14 $，则 $ a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = \pm 4 $
D.$ \sqrt[4]{(4 - 2\sqrt{3})^{2}} + 2\log_{2}3 · \log_{9}4 = \sqrt{3} + 1 $

答案： 9.ABD 解析：A，$\log_{5}24=\frac{\lg24}{\lg5}=\frac{\lg3+\lg8}{\lg10-\lg2}=\frac{\lg3 + 3\lg2}{1-\lg2}$，故A正确。B，$(\frac{1}{3})^{-\log_{3}8}-3\ln(\ln e)=3^{\log_{3}8}-3\ln1=8 - 3 = 5$，故B正确。C，因为$a + a^{-1}=14$，所以$a＞0$。因为$a + a^{-1}+2=(a^{\frac{1}{2}})^{2}+(a^{-\frac{1}{2}})^{2}+2a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^{2}=16$，所以$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=4$，故C错误。D，$\sqrt[4]{(4 - 2\sqrt{3})^{4}}+2\log_{2}3·\log_{9}4=\sqrt[4]{(1-\sqrt{3})^{4}}+2\log_{2}3·\log_{3}2=|1-\sqrt{3}|+2=\sqrt{3}+1$，故D正确。故选ABD.

10. 已知函数 $ y = f(x) $ 在 $ [1,+\infty) $ 上单调递增，且 $ f(x) $ 关于 $ x = 1 $ 对称，则(CD)

A.$ f(-1) ＜ f(3) $
B.$ f(2^{x} + 1) ＜ f(1) $
C.$ f(x + 1) $ 为偶函数
D.任意 $ x \in \mathbf{R} $ 且 $ x \neq 0 $，都有 $ f(2^{x}) ＜ f(3^{x}) $

答案： 10.CD 解析：对于A，因为函数$y = f(x)$图像关于$x = 1$对称，所以$f(-1)=f(3)$，A错误；对于B，因为$2^{x}＞0$，所以$2^{x}+1＞1$，又因为函数$f(x)$在$[1,+\infty)$单调递增，所以$f(2^{x}+1)＞f(1)$，B错误；对于C，因为$f(x)$的图像向左平移一个单位即$f(x + 1)$的图像，函数$y = f(x)$图像关于$x = 1$对称，则$f(x + 1)$的图像关于$y$轴对称，是偶函数，C正确；对于D，函数$f(x)$在$[1,+\infty)$单调递增，且关于$x = 1$对称，函数在$(-\infty,1]$上单调递减，当$x＜0$时，$3^{x}＜2^{x}＜1$，所以$f(2^{x})＜f(3^{x})$，当$x＞0$时，$1＜2^{x}＜3^{x}$，所以$f(2^{x})＜f(3^{x})$，综上所述，$\forall x\in\mathbf{R}$且$x\neq0$，都有$f(2^{x})＜f(3^{x})$，D正确。故选CD.

11. 已知函数 $ f(x) = e^{x} + x - 4 $ 和 $ g(x) = \ln x + x - 4 $ 的零点分别是 $ \alpha $ 和 $ \beta $，则下列结论正确的有(ABD)


A.$ \alpha + \beta = 4 $
B.$ \beta - \alpha ＜ 2 $
C.$ \alpha\beta ＜ e $
D.$ \alpha\ln\beta + \beta\ln\alpha ＜ 4\ln 2 $

答案： 11.ABD 解析：由$f(x)=e^{x}+x - 4 = 0$得$e^{x}=-x + 4$，由$g(x)=\ln x+x - 4 = 0$得$\ln x=-x + 4$，$y = e^{x}$和$y = \ln x$的图像关于直线$y = x$对称，直线$y=-x + 4$和直线$y = x$垂直，也即直线$y=-x + 4$的图像关于$y = x$对称。由$\begin{cases}y=-x + 4,\\y=x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2,\\y=2\end{cases}$设$C(2,2)$.设直线$y=-x + 4$与$y = e^{x}$的图像交于点$A(\alpha,e^{\alpha})$，$e^{\alpha}=-\alpha + 4①$，设直线$y=-x + 4$与$y = \ln x$的图像交于点$B(\beta,\ln\beta)$，$\ln\beta=-\beta + 4②$，则$\alpha+\beta=2×2=4$，A选项正确.$e^{\alpha}+\ln\beta=4$，而$①-②$得$\beta - \alpha=e^{\alpha}-\ln\beta=(4 - \ln\beta)-\ln\beta=4 - 2\ln\beta$，对于函数$g(x)=\ln x+x - 4$，$g(x)$在$(0,+\infty)$上递增，$g(e)=\ln e+e - 4=e - 3＜0$，$g(3)=\ln3 - 1＞0$，$e＜\beta＜3$，所以$1＜\ln\beta＜\ln3$，$2＜2\ln\beta＜2\ln3$，所以$\beta - \alpha=4 - 2\ln\beta＜2$，B选项正确.对于函数$f(x)=e^{x}+x - 4$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上递增，$f(1)=e - 3＜0$，$f(2)=e^{2}-2＞0$，所以$1＜\alpha＜2$，所以$\alpha\beta＞e$，C选项错误.$f(1.3)=e^{1.3}+1.3 - 4=e^{1.3}-2.7＞0$，则$1＜\alpha＜1.3$，所以$\alpha\ln\beta＜1.3×\ln3=\ln3^{1.3}$，对于$3^{1.5}$和$6$，两者分别平方得$(3^{1.5})^{2}=3^{3}=27$，$6^{2}=36$，所以$\ln3^{1.3}＜\ln6$.而$\beta\ln\alpha＜3×\ln1.3=\ln1.3^{3}=\ln2.197$，$\alpha\ln\beta+\beta\ln\alpha＜\ln6+\ln2.197=\ln(6×2.197)＜\ln16=4\ln2$，D选项正确.故选ABD.