《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. (多选)袋中装有标号分别为 1，3，5，7 的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的有(ABC)

A.取出的两球标号为 3 和 7
B.取出的两球标号的和为 4
C.取出的两球标号都大于 3
D.取出的两球标号的和为 8

答案： 1.ABC 解析：对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确.故选ABC.

2. 从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于 4.8g 的概率是 0.3，质量不小于 4.85g 的概率是 0.32，那么质量在$[4.8,4.85)$范围内的概率是(B)

A.0.62
B.0.38
C.0.7
D.0.68

答案： 2.B 解析：记“羽毛球质量小于4.8g”为事件A，“羽毛球质量不小于4.85g”为事件B，“羽毛球质量不小于4.8g，小于4.85g”为事件C，易知三个事件彼此互斥，且三个事件的和事件为必然事件，所以P(C)=1-0.3-0.32=0.38.故选B.

3. 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件$A =$“甲击中靶”，事件$B =$“乙击中靶”，事件$E =$“靶未被击中”，事件$F =$“靶被击中”，事件$G =$“恰一人击中靶”，对下列关系式($\overline{A}$表示$A$的对立事件，$\overline{B}$表示$B$的对立事件)：①$E = \overline{A}\overline{B}$；②$F = AB$；③$F = A + B$；④$G = A + B$；⑤$G = \overline{A}B + A\overline{B}$；⑥$P(F) = 1 - P(E)$；⑦$P(F) = P(A) + P(B)$。其中正确的关系式的个数是(B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 3.B 解析：由题可得：$①E=\overline{A}B，$正确；②事件F=“靶被击中”，AB表示甲乙同时击中，$F=AB+\overline{A}B+A\overline{B}，$所以②错误；③F=A+B，正确；④A+B表示靶被击中，所以④错误；事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为0，所以事件A，B至少有一个发生与A，B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；
对于B，若A，B是相等事件，此时A，B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A，B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；
对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选D.

4. 下列说法中，正确的是(D)

A.事件$A$，$B$至少有一个发生的概率一定比$A$，$B$中恰有一个发生的概率大
B.事件$A$，$B$同时发生的概率一定比$A$，$B$中恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件

答案： 4.D 解析：对于A，事件A，B至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为0，所以事件A，B至少有一个发生与A，B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；
对于B，若A，B是相等事件，此时A，B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A，B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；
对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选D.

5. (多选)下列对各事件发生的概率判断正确的有(AC)

A.某学生在上学的路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是$\frac{1}{3}$，那么该生在上学路上到第 3 个路口首次遇到红灯的概率为$\frac{4}{27}$
B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为$\frac{2}{5}$
C.甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为$\frac{1}{2}$
D.设两个独立事件$A$和$B$都不发生的概率为$\frac{1}{9}$，$A$发生$B$不发生的概率与$B$发生$A$不发生的概率相同，则事件$A$发生的概率是$\frac{2}{9}$

答案： 5.AC 解析：对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为$(1-\frac{1}{3})^2×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}，$故A正确；
对于B，用A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则$P(A)=\frac{1}{5},P(B)=\frac{1}{3},P(C)=\frac{1}{4}，$“三个人都不能破译出密码”发生的概率为$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}，$所以此密码被破译的概率为$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}，$故B不正确；
对于C，设“从甲袋中取到白球”为事件A，则$P(A)=\frac{2}{3}=\frac{8}{12}，$设“从乙袋中取到白球”为事件B，则$P(B)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}，$设取到同色球的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}，$故C正确；
对于D，易得$P(A∩\overline{B})=P(B∩\overline{A})，$即$P(A)·P(\overline{B})=P(B)P(\overline{A})，$
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)]，
∴P(A)=P(B)，又$P(A∩\overline{B})=\frac{1}{9}，$
∴$P(\overline{A})=P(\overline{B})=\frac{1}{3}，$
∴$P(A)=\frac{2}{3}，$故D错误.
故选AC.