《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，用 $ A $ 表示“第一次摸得白球”，用 $ B $ 表示“第二次摸得白球”，则 $ A $ 与 $ B $ 是(D)

A.互斥事件
B.相互独立事件
C.对立事件
D.不相互独立事件

答案： 1.D

2. 随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有 $ 1 \sim 6 $ 共六个数字，记事件 $ A = $“骰子向上的点数是 1 和 3”，事件 $ B = $“骰子向上的点数是 3 和 6”，事件 $ C = $“骰子向上的点数含有 3”，则下列说法正确的是(C)

A.事件 $ A $ 与事件 $ B $ 是相互独立事件
B.事件 $ A $ 与事件 $ C $ 是互斥事件
C.$ P(A) = P(B) = \frac{1}{18} $
D.$ P(C) = \frac{1}{6} $

答案： 2.C 解析：投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有6×6=36种；满足事件A的有{1,3},{3,1}，共2种；满足事件B的有{3,6},{6,3}，共2种；满足事件C的有{1,3},{2,3},{3,3},{4,3},{5,3},{6,3},{3,1},{3,2},{3,4},{3,5},{3,6}，共11种；
∴$P(A)=P(B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18},C$正确$;P(C)=\frac{11}{36},D$错误；
∵P(AB)=0≠P(A)P(B)，
∴A，B不是相互独立事件，A错误；
∵事件A和事件C可能同时发生，
∴A，C不是互斥事件，B错误.故选C.

3. 教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确强基计划取代原有的高校自主招生方式。如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为 $ \frac{4}{5} $，$ \frac{3}{4} $，$ \frac{3}{4} $，那么三人中恰有两人通过的概率为(C)

A.$ \frac{21}{80} $
B.$ \frac{27}{80} $
C.$ \frac{33}{80} $
D.$ \frac{27}{40} $

答案： 3.C 解析：记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A，B，C，显然A，B，C为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件$ABC+\overline{A}BC+AB\overline{C}，$且$\overline{A}BC,AB\overline{C},AB\overline{C}$互斥，
∴所求概率$P(ABC+\overline{A}BC+AB\overline{C})=P(ABC)+P(A\overline{B}C)+P(AB\overline{C})=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(\overline{B})P(C)+P(A)P(B)P(\overline{C})=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{33}{80}$
故选C.

4. 甲和乙两名同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为 $ \frac{1}{3} $，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为(B)

A.$ \frac{5}{27} $
B.$ \frac{7}{27} $
C.$ \frac{2}{9} $
D.$ \frac{1}{9} $

答案： 4.B 解析：分三类：
①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为$:\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}；$
②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为$:(1-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}；$
③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为$:\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$
故甲获胜的概率为$:\frac{1}{9}+\frac{2}{27}+\frac{2}{27}=\frac{7}{27}$
故选B.

5. 若随机事件 $ A $，$ B $ 满足 $ P(AB) = \frac{1}{6} $，$ P(A) = \frac{2}{3} $，$ P(B) = \frac{1}{4} $，则事件 $ A $ 与 $ B $ 的关系是(B)

A.互斥
B.相互独立
C.互为对立
D.互斥且独立

答案： 5.B 解析：因为$P(A)=\frac{2}{3},P(B)=\frac{1}{4}，$又因为P(AB)=

6. (多选)甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是 0.8，乙机床的正品率为 0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则(ACD)

A.两件都是次品的概率为 0.02
B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C.恰有一件正品的概率为 0.26
D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件

答案： 6.ACD 解析：对于A，若取出的两件都是次品，其概率P=(1-0.8)×(1-0.9)=0.2×0.1=0.02,故A项正确；对于B，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B项错误；
对于C，恰有一件正品，其概率P=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26,故C项正确；
对于D，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D项正确；
故选ACD.