《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

2. 某段城际铁路线上依次有$A$，$B$，$C$三站，$AB = 5$km，$BC = 3$km。在列车运行时刻表上，规定列车$8$时整从$A$站发车，$8$时$07$分到达$B$站并停车$1$min，$8$时$12$分到达$C$站。在实际运行时，假设列车从$A$站正点发车，在$B$站停留$1$min，并在行驶时以同一速度$v$km/h匀速行驶，列车从$A$站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
(1) 分别写出列车在$B$、$C$两站的运行误差；
(2) 若要求列车在$B$，$C$两站的运行误差之和不超过$2$min，求$v$的取值范围。

答案： 错解：
(1)列车在B，C两站的运行误差(单位：min)分别是$\left|\frac {5}{v}-7\right|$和$\left|\frac {8}{v}-11\right|$。
(2)由于列车在B，C两站的误差之和不超过2min，所以$\left|\frac {5}{v}-7\right|+\left|\frac {8}{v}-11\right|\leq 2(*)$。
当0＜v≤$\frac{5}{7}$时，(*)式变形为−$\frac{5}{v}$+7+$\frac{8}{v}$−11≤2，解得$\frac{13}{20}$≤v≤$\frac{5}{7}$。
当$\frac{5}{7}$＜v≤$\frac{8}{11}$时，(*)式变形式为7−$\frac{5}{v}$+$\frac{8}{v}$−11≤2，
解得$\frac{5}{7}$＜v≤$\frac{8}{11}$。
当v＞$\frac{8}{11}$时，(*)式变形式为7−$\frac{5}{v}$+11−$\frac{8}{v}$≤2。
解得$\frac{8}{11}$＜v≤$\frac{13}{16}$。
综上所述，v的取值范围为[$\frac{13}{20}$,$\frac{13}{16}$]。
错因分析：上述解答错在单位不统一，应将速度v(km/h)化为v(m/min)。由于一开始出现错误，导致后面结果全是错误的。
正解：
(1)列车在B，C两站的运行误差(单位：min)分别是$\left|\frac {300}{v}-7\right|$和$\left|\frac {480}{v}-11\right|$。
(2)因为列车在B，C两站的误差之和不超过2min，
所以$\left|\frac {300}{v}-7\right|+\left|\frac {480}{v}-11\right|\leq 2(*)$。
当0＜v≤$\frac{300}{7}$时，(*)式变形式为$\frac{300}{v}$−7+$\frac{480}{v}$−11≤2，
解得39≤v≤$\frac{300}{7}$。
当$\frac{300}{7}$＜v≤$\frac{480}{11}$，(*)式变形为7−$\frac{300}{v}$+$\frac{480}{v}$−11≤2，
解得$\frac{300}{7}$＜v≤$\frac{480}{11}$。
当v＞$\frac{480}{11}$时，(*)式变形式为7−$\frac{300}{v}$+11−$\frac{480}{v}$≤2，
解得$\frac{480}{11}$＜v≤$\frac{195}{4}$。
综上所述，v的取值范围是[39,$\frac{195}{4}$]。

3. 某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为$0.5$万元，但每生产$100$件需要增加投入$0.25$万元，市场对此产品的需要量为$500$件，销售收入函数为$R(x)=5x - 0.5x^{2}(0\leq x\leq5)$，其中$x$是产品售出的数量(单位：百件)。
(1) 把利润表示为年产量的函数$f(x)$。
(2) 年产量是多少时，当年公司所得利润最大？
(3) 年产量是多少时，当年公司不亏本？(取$\sqrt{21.5625}=4.65$)

答案： 错解：
(1)设年产量为x(百件)，则
f(x)=5x−0.5x²−(0.5+0.25x)=−0.5x²+4.75x−0.5。
(2)f(x)=−0.5(x−4.75)²+10.78125，
∴当x=4.75百件时，[f(x)]max=10.78125(万元)。
(3)
∵f(x)≥0，
∴−0.5(x−4.75)²+10.78125≥0
解得0.1≤x＜9.4，
∴年产量10件到940件之间不亏本。
错因分析：上述解答忽视了“市场对产品的需要量为500件”条件，事实上，当产品生产量超过500件时，市场销售量最多只能是500件，事实上，因此，这时不能用R(x)=5x−$\frac{x^{2}}{2}$表示收入，而是R
(5)。
正解：
(1)设年产量x百件，
所以f(x)=$\begin{cases} 5x-0.5x^{2}-(0.5+0.25x),0\leq x\leq 5,\\12-0.25x,x＞5.\end{cases}$
(2)当0≤x≤5时，f(x)=5x−0.5x²−(0.5+0.25x)=−0.5(x−4.75)²+10.78125，
∴当x=4.75(百件)时，[f(x)]max=10.78125(万元)。
当x＞5时，f(x)=12−0.25x＜12−1.25＜10.78125，
∴x=4.75时，[f(x)]max=10.78125，
即年产量是475件时，当年公司所得利润最大。
(3)(ⅰ)当0≤x≤5时，由f(x)≥0，
−0.5(x−4.75)²+10.78125≥0⇒$\begin{cases} 0.1\leq x\leq 9.4,\\0\leq x\leq 5.\end{cases}$
∴0.1≤x≤5。
(ⅱ)当x＞5时，12−0.25x≥0⇒5＜x＜48。
综合得0.1≤x≤48。
即生产量在10件到4800件不亏本。

1. 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (1,+\infty) $，则函数 $ F(x)=f(2^{x}-3)+\sqrt{3 - x} $ 的定义域为(A)

A.$ (2,3] $
B.$ (-2,3] $
C.$ [-2,3] $
D.$ (0,3] $

答案： 1.A 解析：由题可知，$\begin{cases}2^{x}-3＞1,\\3-x\geq0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＞2,\\x\leq3\end{cases}\Rightarrow2＜x\leq3$，故函数$F(x)$的定义域为$(2,3]$，故选A.

2. 函数 $ y = 3^{x + 1} $ 的反函数的表达式为(B)

A.$ y = \log_{3}x + 1 $
B.$ y = \log_{3}x - 1 $
C.$ y = \log_{3}(x + 1) $
D.$ y = \log_{3}(x - 1) $

答案： 2.B 解析：由$y = 3^{x + 1}$得$x=\log_{3}y - 1$，令$y = x$得$y=\log_{3}x - 1$，所以函数$y = 3^{x + 1}$的反函数的表达式为$y=\log_{3}x - 1$，故选B.

3. 世界人口在过去 40 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(A)(参考数据 $ \lg 2 \approx 0.3010 $，$ 10^{0.0075} \approx 1.017 $)

A.$ 1.7\% $
B.$ 1.6\% $
C.$ 1.5\% $
D.$ 1.8\% $

答案： 3.A 解析：设40年前人口数为$a$，则现在人口数为$2a$，假设每年的增长率为$x$，则经过40年增长人口数为$a(1 + x)^{40}=2a$，即$(1 + x)^{40}=2$，$\therefore40\lg(1 + x)=\lg2$，$\therefore\lg(1 + x)\approx0.0075$，$\therefore1 + x\approx1.017$，$\therefore x\approx0.017 = 1.7\%$。故选A.