《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

8. 若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且$P(A)=2-3a$，$P(B)=2a-\frac{1}{2}$，则实数a的取值范围是(D)

A.$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
B.$(\frac{1}{2},\frac{2}{3})$
C.$(\frac{1}{4},\frac{2}{3})$
D.$[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$

答案： 8.D 解析：由于A，B互斥，且A，B发生的概率均不为0，
$\begin{cases}0＜2 - 3a＜1,\\0＜2a-\frac{1}{2}＜1,\\0＜2 - 3a+2a-\frac{1}{2}\leq1,\end{cases}$
解得$\frac{1}{2}\leq a＜\frac{2}{3}$，所以$a$的取值范围是$[\frac{1}{2},\frac{2}{3})$.故选D.

9. 某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170 cm和160 cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有(AC)

A.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人
B.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8
C.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数
D.若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为$\frac{1}{10}$

答案： 9.AC 解析：A选项，男生抽取$100×\frac{600}{600 + 400}=60$人，女生抽取$100 - 60 = 40$人，A选项正确.
C选项，样本平均数为$\frac{60}{100}×170+\frac{40}{100}×160 = 166$，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.
B选项，样本方差为$\frac{60}{100}[(15+(170 - 166)^2]+\frac{40}{100}[30+(160 - 166)^2]=\frac{93}{5}+\frac{132}{5}=45$，所以B选项错误.
D选项，男生甲被抽到的概率为$\frac{50}{600}=\frac{1}{12}$，D选项错误，故选AC.

10. 下列说法正确的有(AC)

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D.若样本数据$x_{1}$，$x_{2}$，$·s$，$x_{10}$的标准差为8，则数据$2x_{1}-1$，$2x_{2}-1$，$·s$，$2x_{10}-1$的标准差为32

答案： 10.AC 解析：对于选项A，个体$m$被抽到的概率为$\frac{5}{50}=0.1$，故该选项正确；
对于选项B，$\frac{1 + 2 + m + 6 + 7}{5}=4$，解得$m = 4$，
则方差为$s^2=\frac{1}{5}[(1 - 4)^2+(2 - 4)^2+(4 - 4)^2+(6 - 4)^2+(7 - 4)^2]=5.2$，故该选项错误；
对于选项C，数据27,12,14,30,14,17,19,23，从小到大排列为，12,14,14,17,19,23,27,30，
由于$8×70\% = 5.6$，其中第6个数为23，故该选项正确；
对于选项D，设数据$x_1,x_2,·s,x_{10}$的均值为$x$，
则数据$2x_1 - 1,2x_2 - 1,·s,2x_{10} - 1$的均值为$2x - 1$，
因为数据$x_1,x_2,·s,x_{10}$的标准差为$\sqrt{\frac{1}{10}[(x_1 - \overline{x})^2+(x_2 - \overline{x})^2+·s+(x_{10} - \overline{x})^2]}=8$，
所以数据$2x_1 - 1,2x_2 - 1,·s,2x_{10} - 1$的标准差为
$\sqrt{\frac{1}{10}[(2x_1 - 1 - 2\overline{x}+1)^2+(2x_2 - 1 - 2\overline{x}+1)^2+·s+(2x_{10} - 1 - 2\overline{x}+1)^2]}$
$=2\sqrt{\frac{1}{10}[(x_1 - \overline{x})^2+(x_2 - \overline{x})^2+·s+(x_{10} - \overline{x})^2]} = 16$，故该选项错误.故选AC.

11. 已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为$\Omega$，设事件$A_{i}=$“测试i次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的有(BD)

A.$\Omega=\{2,3,4,5,6\}$
B.事件$A_{2}$和事件$A_{3}$互为互斥事件
C.事件$A_{4}=$“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”
D.事件$A_{5}=$“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”

答案： 11.BD 解析：A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以$\Omega = \{2,3,4,5\}$，故A错误；
B：事件$A_2$为前两次均测试出次品，事件$A_3$为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合互斥事件的条件，故B正确；
C：事件$A_4 =$“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误；
D：事件$A_5 =$“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确.故选BD.

12. 已知A，B两人同时射击目标C(A，B是否射中之间相互独立)，已知A射中C的概率为0.9，B射中C的概率为0.8，则至少有一人击中目标C的概率是0.98.

答案： 12.0.98 解析：A射中C的概率为0.9，B射中C的概率为0.8，两人是否命中目标相互独立，现在两人同时射击目标，至少有一人击中目标C的对立事件是两人都没有击中目标，则至少有一人击中目标C的概率是$P = 1 - (1 - 0.9)(1 - 0.8)=0.98$.