《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

9. 化简$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} =$6。

答案： 9.6 解析：$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}+\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(3 - \sqrt{2})^2}=3+\sqrt{2}+3 - \sqrt{2}=6$.故答案为6.

10. 比较大小：$\sqrt{8} - \sqrt{6}$＜$\sqrt{7} - \sqrt{5}$。(填：$＞$，$＜$，$=$)

答案： 10.$＜$ 解析：由题意可得$\sqrt{8}-\sqrt{6}=\frac{2}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}$，$\sqrt{7}-\sqrt{5}=\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$，因为$\sqrt{8}+\sqrt{6}＞\sqrt{7}+\sqrt{5}$，故$\frac{2}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}＜\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$，即$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{7}-\sqrt{5}$，故答案为$＜$.

11. 对下列式子化简求值。
（1）求值：$\frac{1}{2} × (\sqrt{2} × \sqrt[3]{3})^6 - 4 × (\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}} + 2022^0$；
（2）已知$a^{\frac{x}{2}} - a^{-\frac{x}{2}} = 2$（$a ＞ 0$，且$a \neq 1$），求$\frac{a^{2x} + a^{-2x}}{a^x + a^{-x}}$的值。

答案： 11.解：
(1)原式$=\frac{1}{2}×2^3×3^2 - 4×\frac{9}{4}+1=36 - 9 + 1=28$.
(2)$\because a^{\frac{x}{2}}-a^{-\frac{x}{2}}=2$，$\therefore(a^{\frac{x}{2}}-a^{-\frac{x}{2}})^2=a^x + a^{-x}-2=4$，$\therefore a^x + a^{-x}=6$.
同理，$a^{2x}+a^{-2x}=(a^x + a^{-x})^2 - 2=34$，$\therefore\frac{a^{2x}+a^{-2x}}{a^x + a^{-x}}=\frac{17}{3}$.

12. 已知函数$f(x) = \frac{2^{2x}}{2 + 2^{2x}}$。
（1）求$f(\frac{1}{3}) + f(\frac{2}{3})$，$f(3) + f(-2)$的值；
（2）求$f(x) + f(1 - x)$的值。

答案： 12.解：
(1)$f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})=\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2 + 2^{\frac{2}{3}}}+\frac{2^{\frac{4}{3}}}{2 + 2^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{3}}}+\frac{2^{\frac{1}{3}}}{1 + 2^{\frac{1}{3}}}=\frac{1 + 2^{\frac{1}{3}}}{1 + 2^{\frac{1}{3}}}=1$；
$f(3)+f( - 2)=\frac{2^6}{2 + 2^6}+\frac{2^{-4}}{2 + 2^{-4}}=\frac{2^6}{2 + 2^6}+\frac{1}{2^5 + 1}=\frac{2}{2^6 + 2}+\frac{2^6}{2^6 + 2}=1$.
(2)$f(x)+f(1 - x)=\frac{2^{2x}}{2 + 2^{2x}}+\frac{2^{2(1 - x)}}{2 + 2^{2(1 - x)}}=\frac{4^x}{2 + 4^x}+\frac{4^{1 - x}}{2 + 4^{1 - x}}=\frac{4^x}{2 + 4^x}+\frac{2}{4·4^x + 2}=\frac{4^x + 2}{2 + 4^x}=1$.

1. 若$x^3 + x^2 + x = -1$，则$x^{-28} + x^{-27} + ·s + x^{-2} + x^{-1} + 1 + x^1 + x^2 + ·s + x^{27} + x^{28}$的值是(D)

A.$2$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$

答案： 1.D 解析：由$x^3 + x^2 + x = -1$，得$x^2(x + 1)+x + 1=0$，即$(x + 1)(x^2 + 1)=0$，解得$x = -1$.$\therefore x^{-28}+x^{-27}+·s+x^{-2}+x^{-1}+1+x^1+x^2+·s+x^{27}+x^{28}=1$.故选D.

2. 若函数$f(x) = \frac{x}{mx^2 + mx + 1}$的值域为$R$，则$m$的取值范围是(C)

A.$[0, 4]$
B.$(-\infty, 0)$
C.$(-\infty, 0]$
D.$(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$

答案： 2.C 解析：①当$m = 0$时，成立；②当$m\neq0$时，原式可化为$myx^2+(my - 1)x + y = 0$，则$\Delta=(my - 1)^2 - 4my· y\geq0$对任意$y$都成立，所以$(m^2 - 4m)y^2 - 2my + 1\geq0$恒成立，则$\begin{cases}m^2 - 4m = 0\\2m = 0\end{cases}$或$\begin{cases}m^2 - 4m＞0\\(-2m)^2 - 4(m^2 - 4m)\leq0\end{cases}$解得$m\leq0$.

3. $(2\sqrt{5} + 1)(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ·s + \frac{1}{\sqrt{80} + \sqrt{81}}) =$$16\sqrt{5}+8$。

答案： 3.$16\sqrt{5}+8$ 解析：原式$=(2\sqrt{5}+1)×(\frac{\sqrt{2}-1}{2 - 1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4 - 3}+·s+\frac{\sqrt{81}-\sqrt{80}}{81 - 80})=(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{2}-1 + \sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+·s+\sqrt{81}-\sqrt{80})=(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{81}-1)=8(2\sqrt{5}+1)=16\sqrt{5}+8$.故答案为$16\sqrt{5}+8$.

4. 已知$x + y = 6$，$xy = 4$，且$x ＞ y$，则$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} =$$\frac{\sqrt{5}}{5}$。

答案： 4.$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 解析：由题意，$x - y=\sqrt{(x + y)^2 - 4xy}=\sqrt{6^2 - 4×4}=2\sqrt{5}$，所以$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{x - 2\sqrt{xy}+y}{x - y}=\frac{6 - 4}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

5. 阅读材料，解决问题：
化简：$\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$。由于题目没有给出$x$的取值范围，所以要分类讨论，$\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{(x + 2)^2} = |x - 3| + |x + 2|$。
令$x - 3 = 0$，$x = 3$，令$x + 2 = 0$，得$x = -2$；
$\therefore \sqrt{(x - 3)^2}$的零点值为$3$，$\sqrt{(x + 2)^2}$的零点值为$-2$，在数轴上标出$3$和$-2$的点，数轴被分成三段，即$x ＜ -2$，$-2 \leq x ＜ 3$，$x \geq 3$；当$x ＜ -2$时，原式$= -2x + 1$；当$-2 \leq x ＜ 3$时，原式$= 5$；当$x \geq 3$时，原式$= 2x - 1$。
（1）求$\sqrt{(x + 1)^2}$和$\sqrt{(x - 2)^2}$的零点值；
（2）化简：$\sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 4x + 4}$。
（3）求方程：$|x + 2| + |x - 4| = 6$的整数解。

答案： 5.解：
(1)可令$x + 1 = 0$和$x - 2 = 0$，解得$x = -1$和$x = 2$，$\therefore -1$，$2$分别为$|x + 1|$和$|x - 2|$的零点值.
(2)$\sqrt{x^2 + 2x + 1}+\sqrt{x^2 - 4x + 4}=\sqrt{(x + 1)^2}+\sqrt{(x - 2)^2}=|x + 1|+|x - 2|$，当$x\leq -1$时，$\therefore x + 1\leq0$，$x - 2\leq -3$，$\therefore$原式$=-(x + 1)-(x - 2)=-x - 1 - x + 2=-2x + 1$，当$-1＜x＜2$时，$\therefore x + 1＞0$，$x - 2＜0$，$\therefore$原式$=x + 1-(x - 2)=3$；当$x\geq2$时，$\therefore x + 1\geq3$，$x - 2\geq0$，$\therefore$原式$=x + 1 + x - 2=2x - 1$.
(3)当$x＜-2$时，$\therefore x + 2＜0$，$x - 4＜-6$，$\therefore$方程左边$=-(x + 2)-(x - 4)=-x - 2 - x + 4=-2x + 2＞6$；当$-2\leq x\leq4$时，$\therefore x + 2\geq0$，$x - 4\leq0$，$\therefore$方程左边$=x + 2-(x - 4)=6$；当$x＞4$时，$\therefore x + 2＞6$，$x - 4＞0$，$\therefore$方程左边$=x + 2 + x - 4=2x - 2＞6$，$\therefore -2\leq x\leq4$，$\therefore$整数解为：$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，$4$.