《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

4. 甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（1）求甲成绩的 $ 80\% $ 分位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪名学生参加合适？请说明理由？

答案： 4. 解:
(1)把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：
$78\ \ 79\ \ 81\ \ 82\ \ 84\ \ 88\ \ 93\ \ 95$
因为一共有8个数据，所以$8 × 80\% = 6.4$，不是整数，所以甲成绩的$80\%$分位数是第7个数据93.
(2)$\overline{x_{甲}} = \frac{1}{8}(78 + 79 + 81 + 82 + 84 + 88 + 93 + 95) = 85$，
$\overline{x_{乙}} = \frac{1}{8}(75 + 80 + 80 + 83 + 85 + 90 + 92 + 95) = 85$.
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{8}[(78 - 85)^{2} + (79 - 85)^{2} + (81 - 85)^{2} + (82 - 85)^{2}$
$+ (84 - 85)^{2} + (88 - 85)^{2} + (93 - 85)^{2} + (95 - 85)^{2}] =$
$35.5$，
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{8}[(75 - 85)^{2} + (80 - 85)^{2} + (80 - 85)^{2} + (83 - 85)^{2}$
$+ (85 - 85)^{2} + (90 - 85)^{2} + (92 - 85)^{2} + (95 - 85)^{2}] = 41$，
$\because \overline{x_{甲}} = \overline{x_{乙}},s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2},\therefore$甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.

5. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为(B)


A.3
B.$ \frac{2\sqrt{10}}{5} $
C.3
D.$ \frac{8}{5} $

答案： 5. B 解析:$\because \overline{x} = \frac{100 + 40 + 90 + 60 + 10}{100} = 3,\therefore s^{2} = \frac{1}{n}[(x_{1}$
$- \overline{x})^{2} + (x_{2} - \overline{x})^{2} + ·s + (x_{n} - \overline{x})^{2}] - \frac{1}{100}(20 × 2^{2} + 10 ×$
$1^{2} + 30 × 1^{2} + 10 × 2^{2}) = \frac{160}{100} = \frac{8}{5} \Rightarrow s = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.

6. 如图，$ A $ 地到火车站共有两条路径 $ L_1 $ 和 $ L_2 $，现随机抽取 100 位从 $ A $ 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）分别求通过路径 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（2）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

答案： 6. 解:
(1)选择$L_{1}$的有60人，选择$L_{2}$的有40人，故由调查
所用时间(分钟)
$10\sim20$ $20\sim30$ $30\sim40$ $40\sim50$ $50\sim60$
$L_{1}$的频率 $0.1$ $0.2$ $0.3$ $0.2$ $0.2$
$L_{2}$的频率 $0$ $0.1$ $0.4$ $0.4$ $0.1$
(2)设$A_{1},A_{2}$分别表示甲选择$L_{1}$和$L_{2}$时，在40分钟内赶到火车站；
$B_{1},B_{2}$分别表示乙选择$L_{1}$和$L_{2}$时，在50分钟内赶到火车站.
由
(1)，知$P(A_{1}) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6$，
$P(A_{2}) = 0.1 + 0.4 = 0.5$，
因为$P(A_{1}) ＞ P(A_{2})$，所以甲应选择路径$L_{1}$；
$P(B_{1}) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8$，
$P(B_{2}) = 0.1 + 0.4 + 0.4 = 0.9$，
因为$P(B_{2}) ＞ P(B_{1})$，所以乙应选择路径$L_{2}$.