《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

12. 设 $ a, b, c $ 是直角三角形的三边长，其中 $ c $ 为斜边，且 $ c \neq 1 $，求证：$ \log_{(c + b)}a + \log_{(c - b)}a = 2\log_{(c + b)}a · \log_{(c - b)}a $。

答案： 12.证明：由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$.$\log_{(c + b)}a + \log_{(c - b)}a = \frac{1}{\log_a(c + b)} + \frac{1}{\log_a(c - b)} = \frac{\log_a(c - b) + \log_a(c + b)}{\log_a(c + b) · \log_a(c - b)} = \frac{\log_a[(c - b)(c + b)]}{\log_a(c + b) · \log_a(c - b)} = \frac{\log_a a^2}{\log_a(c + b) · \log_a(c - b)} = 2\log_{(c + b)}a · \log_{(c - b)}a$，即等式成立.

1. 正整数 $ 1, 2, 3, ·s, n $ 的倒数的和 $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{n} $ 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当 $ n $ 很大时，$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{n} \approx \ln n + \gamma $。其中 $ \gamma $ 称为欧拉—马歇罗尼常数，$ \gamma \approx 0.577215664901·s $，迄今为止都不确定 $ \gamma $ 是有理数还是无理数。设 $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数。用上式计算 $ \left[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2022}\right] $ 的值为(B)(参考数据：$ \ln 2 \approx 0.69, \ln 3 \approx 1.10, \ln 10 \approx 2.30 $)

A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 1.B 解析：由题意知$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2022} = \ln2022 + \gamma$.而$\ln2022 = \ln2 × 3 × 337 = \ln2 + \ln3 + \ln337 \approx 1.79 + \ln337$，又$\ln300 ＜ \ln337 ＜ \ln360$，$\ln300 = \ln3 + 2\ln10 \approx 1.10 + 2 × 2.30 = 5.70$，$\ln360 = 2(\ln2 + \ln3) + \ln10 \approx 2(0.69 + 1.10) + 2.30 = 5.88$，$\therefore \ln2022 \in (7.49, 7.67), \therefore \ln2022 + \gamma \in (8.06, 8.25)$，故$\left[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2022} \right] \approx [ \ln2022 + \gamma ] = 8$, 故选B.

2. (多选)已知正实数 $ x, y, z $ 满足 $ 2^{x} = 3^{y} = 6^{z} $，则(ACD)

A.$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $
B.$ 2x ＞ 3y ＞ 6z $
C.$ \frac{x}{2} ＞ \frac{y}{3} ＞ \frac{z}{6} $
D.$ xy \geq 4z^{2} $

答案： 2.ACD 解析：令$2^x = 3^y = 6^z = t$，则$t ＞ 1$，可得：$x = \log_2t, y = \log_3t, z = \log_6t$，对于选项A：因为$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\log_2t} + \frac{1}{\log_3t} = \frac{\lg2}{\lg t} + \frac{\lg3}{\lg t} = \frac{\lg6}{\lg t} = \log_t6 = \frac{1}{z}$，所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$，故选项A正确；对于选项B，因为$t ＞ 1$，所以$\lg t ＞ 0$，所以$2x - 3y = 2\log_2t - 3\log_3t = \frac{2\lg t}{\lg2} - \frac{3\lg t}{\lg3} = \frac{\lg t \lg9 - \lg t \lg8}{\lg2 · \lg3} = \frac{\lg t (\lg3^2 - \lg2^3)}{\lg2 · \lg3} ＞ 0$，即$2x ＞ 3y$，$3y - 6z = 3\log_3t - 6\log_6t = \frac{3\lg t}{\lg3} - \frac{6\lg t}{\lg6} = \frac{3\lg t (\lg6 - 2\lg3)}{\lg3 · \lg6} = \frac{3\lg t · \lg \frac{6}{9}}{\lg3 · \lg6} ＜ 0$，即$3y ＜ 6z$，故B选项错误；对于选项C：$\frac{\log_6t}{a} = \frac{\lg a}{\lg a}$，因为$0 ＜ 2\lg2 ＜ 3\lg3 ＜ 6\lg6$，所以$\frac{1}{2\lg2} ＞ \frac{1}{3\lg3} ＞ \frac{1}{6\lg6}$，因为$\lg t ＞ 0$，所以$\frac{\lg t}{2\lg2} ＞ \frac{\lg t}{3\lg3} ＞ \frac{\lg t}{6\lg6}$，即$\frac{\log_2t}{2} ＞ \frac{\log_3t}{3} ＞ \frac{\log_6t}{6}$，故选项C正确；对于选项D：$xy = \log_2t · \log_3t = \frac{\lg t}{\lg2} · \frac{\lg t}{\lg3} = \frac{(\lg t)^2}{\lg2 × \lg3}$，$4z^2 = 4(\log_6t)^2 = 4 \left( \frac{\lg t}{\lg6} \right)^2 = \frac{4(\lg t)^2}{(\lg6)^2}$，因为$0 ＜ \lg2 × \lg3 ＜ \left( \frac{\lg2 + \lg3}{2} \right)^2 = \frac{(\lg6)^2}{4}$，因为$\lg2 \neq \lg3$所以等号不成立，所以$\frac{1}{\lg2 × \lg3} ＞ \frac{4}{(\lg6)^2}$，即$\frac{(\lg t)^2}{\lg2 × \lg3} ＞ \frac{4(\lg t)^2}{(\lg6)^2}$，所以$xy ＞ 4z^2$，根据“或”命题的性质可知选项D正确.
故选ACD.

3. 若 $ f(2^{x} + 1) = \log_{\sqrt{2}}\frac{1}{3x + 4} $，则 $ f(17) = $-8。

答案： 3.-8 解析：$f(17) = f(2^4 + 1) = \log_{\sqrt{2}} \frac{3 × 4 + 4}{4} = \log_{\sqrt{2}}16^{-1} = -8$.

4. 设 $ x, y \in \mathbf{R}, a ＞ 1, b ＞ 1 $，若 $ a^{x} = b^{y} = 3, 3a + b = 18 $，则 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $ 的最大值为3。

答案： 4.3 解析：因为$a^x = b^y = 3$，所以$x = \log_a3, y = \log_b3$.又$\log_b3 · \log_a3 = \frac{\lg3}{\lgb} · \frac{\lga}{\lg3} = 1, \log_b3 · \log_b = \frac{\lgb}{\lg3} = \frac{1}{\log_3b}$，所以$\frac{\lgb}{\lg3} = 1$，所以$\frac{1}{x} = \log_3a, \frac{1}{y} = \log_3b$，因为$a ＞ 1, b ＞ 1$，根据基本不等式有$3ab \leq \left( \frac{3a + b}{2} \right)^2 = 81$，当且仅当$3a = b$，即$a = 3, b = 9$时等号成立，所以$ab \leq 27$.则$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \log_3a + \log_3b - \log_3ab \leq \log_327 = 3$，所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的最大值为3. 故答案为3.

5. 若 $ a, b $ 是方程 $ 2(\lg x)^{2} - \lg x^{4} + 1 = 0 $ 的两个实根，求 $ \lg(ab) · (\log_{a}b + \log_{b}a) $ 的值。

答案： 5.解：$\because a, b$是方程$2(\lg x)^2 - \lg x^4 + 1 = 0$的两个实根，$\therefore \lg a + \lg b = 2, \lg a · \lg b = \frac{1}{2}$.$\therefore \lg(ab) · (\log_b + \log_a) = (\lg a + \lg b) · \left( \frac{\lg b}{\lg a} + \frac{\lg a}{\lg b} \right) = (\lg a + \lg b) · \frac{(\lg a + \lg b)^2 - 2\lg a · \lg b}{\lg a · \lg b} = 2^2 - 2 × \frac{1}{2} = 2 × \frac{1}{2} = 12$，即$\lg(ab) · (\log_b + \log_a) = 12$.

6. 已知 $ x, y, z $ 为正数，$ 3^{x} = 4^{y} = 6^{z}, 2x = py $。
(1) 求 $ p $ 的值；
(2) 证明：$ \frac{1}{z} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2y} $。

答案： 6.
(1)解：设$3^x = 4^y = 6^z = k$(显然$k ＞ 0$，且$k \neq 1$)，则$x = \log_3k, y = \log_4k, z = \log_6k$.由$2x = p y$，得$2\log_3k = p\log_4k = p · \frac{\log_3k}{\log_34}$，$\because \log_3k \neq 0, \therefore p = 2\log_34 = 4\log_32$.
(2)证明：$\frac{1}{z} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2y} = \log_6 - \log_33 = \log_22 = \frac{1}{2} \log_44 = \frac{1}{2y}$.