《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 已知总体容量为 108，若用随机数表法抽取一个容量为 10 的样本，下列对总体的编号正确的是(D)

A.1，2，…，108
B.01，02，…，108
C.00，01，…，107
D.001，002，…，108

答案： 1.D

2. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 400 人，南面有 200 人，这三面要征调 60 人，而北面共征调 10 人(用分层抽样的方法)，则北面共有(C)人.”

A.200
B.100
C.120
D.140

答案： 2.C　解析:设北面共有$x$人,则由题意可得$\frac{x}{400 + 200 + x} = \frac{10}{60}$，解得$x = 120$，所以北面共有120人,故选C

3. (多选)某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为 1～1 000 的 1 000 名学生进行了调查. 调查中使用了两个问题，问题 1：你的编号是否为奇数？问题 2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球 50 个，红球 50 个)中摸出一个小球(摸完放回)：摸到白球则如实回答问题 1，摸到红球则如实回答问题 2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案. 最后统计得出，这 1 000 人中，共有 265 人回答“是”，则下列表述正确的有(BC)

A.估计被调查者中约有 15 人吸烟
B.估计约有 15 人对问题 2 的回答为“是”
C.估计该地区约有 3%的中学生吸烟
D.估计该地区约有 1.5%的中学生吸烟

答案：
3.BC　解析:随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是$\frac{1}{2}$，其编号是奇数的概率也是$\frac{1}{2}$，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为$1000 × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = 250$，回答问题2且回答的“是”的人数为$265 - 250 = 15$，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为$\frac{15}{500} = 3\%$，估计被调查者中吸烟的人数为$1000 × 3\% = 30$.故选BC.

4. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1 200 辆，6 000 辆和 2 000 辆. 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为6,30,10.

答案： 4.6,30,10　解析:设三种型号的轿车依次抽取$x$辆，$y$辆，$z$辆，则有$\begin{cases} \frac{x}{1200} = \frac{y}{6000} = \frac{z}{2000} \\ x + y + z = 46 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 6 \\ y = 30 \\ z = 10 \end{cases}$，故填6,30,10.

5. 某电视台举行颁奖典礼，邀请 20 名港台、内地艺人演出，其中从 30 名内地艺人中随机选出 10 人，从 18 名香港艺人中随机挑选 6 人，从 12 名台湾艺人中随机挑选 4 人. 试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.

答案：
5.解:1.先确定内地艺人:
(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出;
(2)运用相同的办法分别从12名台湾艺人中抽取4人,从18名香港艺人中抽取6人;
2.确定演出顺序:确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上01到20这20个数字，代表演出的顺序，让每名演员随机抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这名演员的演出顺序，再汇总即可.

6. 某中学举行了为期 3 天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛. 为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校 500 名教职员工、3 000 名初中生、4 000 名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出 120 份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论?
(2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作?

答案： 6.解:
(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.因为样本容量为120，总体个数为500+3000+4000=7500，则抽样比:$\frac{120}{7500} = \frac{2}{125}$，所以有$500 × \frac{2}{125} = 8$，$3000 × \frac{2}{125} = 48$，$4000 × \frac{2}{125} = 64$，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8、48、64.
分层抽样的步骤是:
①分层:分为教职员工、初中生、高中生，共三层.
②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8、48、64.
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本.
④综合每层抽样，组成样本.
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论.
(2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数法.如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是
①编号:将3000份答卷都编上号码:0001,0002,0003,…，3000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置.
③规定读数方向:向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码，则只取一个，这样一直到取满48个号码为止.