《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

11. 求下列各式的值：
(1) $\log_{\frac{1}{16}}2$；(2) $\log_{7}\sqrt[3]{49}$；(3) $\log_{2}(\log_{9}3)$。

答案： 11.解:
(1)设 $\log_{\frac{1}{16}}2 = x$,则 $(\frac{1}{16})^x = 2$,即 $2^{-4x} = 2$,$\therefore -4x = 1$,$x = -\frac{1}{4}$,即 $\log_{\frac{1}{16}}2 = -\frac{1}{4}$.
(2)设 $\log_7\sqrt[3]{49} = x$,则 $7^x = \sqrt[3]{49} = 7^{\frac{2}{3}}$,$\therefore x = \frac{2}{3}$,即 $\log_7\sqrt[3]{49} = \frac{2}{3}$.
(3)设 $\log_93 = x$,则 $9^x = 3$,即 $3^{2x} = 3$,$\therefore x = \frac{1}{2}$.设 $\log_2 \frac{1}{2} = y$,则 $2^y = \frac{1}{2} = 2^{-1}$,$\therefore y = -1$.$\therefore \log_2(\log_93) = -1$.

1. 有以下四个结论：
① $\lg(\lg 10) = 0$；
② $\ln(\ln e) = 0$；
③ 若 $10 = \lg x$，则 $x = 10$；
④ 若 $e = \ln x$，则 $x = e^{2}$。
其中正确的是（C）

A.①③
B.②④
C.①②
D.③④

答案： 1.C

2. 若 $\log_{x}\sqrt[7]{y} = z$，则（B）

A.$y^{7}=x^{z}$
B.$y = x^{7z}$
C.$y = 7x^{z}$
D.$y = z^{7x}$

答案： 2.B

3. 已知 $\lg a = 2.4310$，$\lg b = 1.4310$，则 $\frac{b}{a}=$$\frac{1}{10}$。

答案： 3.$\frac{1}{10}$　解析:由题意得,$a = 10^{2.4310}$,$b = 10^{1.4310}$,$\therefore \frac{b}{a} = \frac{10^{1.4310}}{10^{2.4310}} = 10^{1.4310 - 2.4310} = 10^{-1} = \frac{1}{10}$.

4. 已知 $x = \log_{2}3$，求 $\frac{2^{3x}-2^{-3x}}{2^{x}-2^{-x}}$ 的值。

答案： 4.解:由 $x = \log_23$,得 $2^x = 3$,$2^{-x} = \frac{1}{3}$,$\frac{2^{3x} - 2^{-3x}}{2^x - 2^{-x}} = \frac{3^3 - (\frac{1}{3})^3}{3 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{91}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{91}{9} × \frac{3}{2} = \frac{91}{6}$.

5. 已知 $\alpha$，$\beta$ 是方程 $x^{2}-\sqrt{10}x + 2 = 0$ 的两个实根，求 $\log_{2}(\frac{\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2}}{|\alpha - \beta|})$ 的值。

答案： 5.解:$\because \alpha$,$\beta$ 是方程 $x^2 - \sqrt{10}x + 2 = 0$ 的两个实根,$\therefore \alpha + \beta = \sqrt{10}$,$\alpha\beta = 2$,$\frac{\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2}{|\alpha - \beta|} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta}{\sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}} = \frac{10 - 6}{\sqrt{10 - 8}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$,$\therefore$ 原式所求值转化为求 $\log_22\sqrt{2}$.令 $\log_22\sqrt{2} = x$,则 $2^x = 2\sqrt{2} = 2^{\frac{3}{2}}$,$\therefore x = \frac{3}{2}$,$\therefore \log_2(\frac{\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2}{|\alpha - \beta|}) = \frac{3}{2}$.