《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

6. 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量 $ y $(只)与时间 $ x $(年)近似满足关系 $ y = a\log_3(x + 2) $，观测发现 2019 年冬(作为第 1 年)有越冬白鹤 3000 只，估计到 2025 年冬有越冬白鹤(C)($ 10^{0.25} \approx 1.778 $)

A.4000 只
B.5000 只
C.6000 只
D.7000 只

答案： 6.C 解析:当$x = 1$时,由$3000 = a\log_3(1 + 2)$得$a = 3000$,
所以到2025年冬,即第7年,$y = 3000 × \log_3(7 + 2) = 6000$.故选C.

7. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $ L_2 $ 点的轨道运行. $ L_2 $ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 $ M_1 $，月球质量为 $ M_2 $，地月距离为 $ R $，$ L_2 $ 点到月球的距离为 $ r $，根据牛顿运动定律和万有引力定律，$ r $ 满足方程：$ \frac{M_1}{(R + r)^2} + \frac{M_2}{r^2} = (R + r)\frac{M_1}{R^3} $.
设 $ \alpha = \frac{r}{R} $，由于 $ \alpha $ 的值很小，因此在近似计算中 $ \frac{3\alpha^3 + 3\alpha^4 + \alpha^5}{(1 + \alpha)^2} \approx 3\alpha^3 $，则 $ r $ 的近似值为(D)

A.$ \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}R $
B.$ \sqrt{\frac{M_2}{2M_1}}R $
C.$ \sqrt[3]{\frac{3M_2}{M_1}}R $
D.$ \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}R $

答案： 7.D 解析:由$a = \frac{r}{R}$,得$r = aR$.
$\because \frac{M_1}{(R + r)^2} + \frac{M_2}{r^2} = (R + r)\frac{M_1}{R^3}$,
$\frac{M_1}{R^2(1 + a)^2} + \frac{M_2}{a^2R^2} = (1 + a)\frac{M_1}{R^3}$,
即$\frac{M_2}{M_1} = a^2 \left[ \frac{(1 + a)^3 - 1}{(1 + a)^2} \right] \frac{a^5 + 3a^4 + 3a^3}{(1 + a)^2} \approx 3a^3$
解得$a \approx \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}$.$\therefore r = aR \approx \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}R$.

8. 某零件加工厂月加工零件数量 $ y $ 与月份 $ x $ 满足关系 $ y = a · 0.5^x + b $，现已知该厂今年 1 月份、2 月份生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件. 则此工厂 3 月份生产该产品的产量为1.75万件.

答案： 8.1.75 解析:由题意有$\begin{cases}1 = 0.5a + b, \\1.5 = 0.25a + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -2, \\b = 2,\end{cases}$
$\therefore y = -2 × 0.5^x + 2$,
$\therefore 3$月份产量为$y = -2 × 0.5^3 + 2 = 1.75$(万件).

9. “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的. 已知某品牌商品靠广告销售的收入 $ R $ 与广告费 $ A $ 之间满足关系 $ R = a\sqrt{A} $($ a $ 为正常数)，广告效应为 $ D = a\sqrt{A} - A $. 那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为$\frac{a^2}{4}$.

答案： 9.$\frac{a^2}{4}$ 解析:$D = a\sqrt{A} - A = - \left( \sqrt{A} - \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{a^2}{4}$
当$\sqrt{A} = \frac{a}{2}$时,$D_{\max} = \frac{a^2}{4}$,此时$A = \frac{a^2}{4}$.

10. 现测得 $ (x,y) $ 的两组对应值分别为 $ (1,2) $，$ (2,5) $，现有两个待选模型，甲：$ y = x^2 + 1 $，乙：$ y = 3x - 1 $，若又测得 $ (x,y) $ 的一组对应值为 $ (3,10.2) $，则应选用甲作为函数模型.

答案： 10.甲 解析:将$x = 3$分别代入$y = x^2 + 1$及$y = 3x - 1$,得
$y = 3^2 + 1 = 10$,$y = 3 × 3 - 1 = 8$.因为10更接近10.2,所以选用甲模型.

11. 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元. 根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆.
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于 3 元并且不超过 20 元，每辆自行车的日租金 $ x $ 元只取整数，用 $ y $ 表示出租所有自行车的日净收入.（日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）
（1）求函数 $ y = f(x) $ 的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

答案： 11.解:
(1)当$x \leq 6$时,$y = 50x - 115$,令$50x - 115 ＞ 0$,解得$x ＞ 2.3$.
又因为$x \in \mathbf{N}$,所以$3 \leq x \leq 6$,且$x \in \mathbf{N}$.
当$6 ＜ x \leq 20$,且$x \in \mathbf{N}$时,
$y = [50 - 3(x - 6)]x - 115 = -3x^2 + 68x - 115$,
综上可知
$y = f(x) = \begin{cases}50x - 115, & 3 \leq x \leq 6, x \in \mathbf{N}, \\-3x^2 + 68x - 115, & 6 ＜ x \leq 20, x \in \mathbf{N}.\end{cases}$
(2)当$3 \leq x \leq 6$,且$x \in \mathbf{N}$时,因为$y = 50x - 115$是增函数,
所以当$x = 6$时,$y_{\max} = 185$元.
当$6 ＜ x \leq 20$,且$x \in \mathbf{N}$时,
$y = -3x^2 + 68x - 115 = -3 \left( x - \frac{34}{3} \right)^2 + \frac{811}{3}$,
所以当$x = 11$时,$y_{\max} = 270$元.
综上所述,当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多,为270元.
自变量$x$按取值不同,依不同的对应关系因变量$y$是分段函数的典例特征,建立分段函数模型应注意:
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.