《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100 名高中男生的体重情况。根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示。根据此图，估计该校 2 000 名高中男生中体重大于 70.5 kg 的人数为(B)


A.300
B.360
C.420
D.450

答案： 1.B

2. 已知一组数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$的平均数为 5，方差为 4，则数据$3x_{1}+7,3x_{2}+7,·s,3x_{n}+7$的平均数和方差分别为(B)

A.22、42
B.22、36
C.52、36
D.52、19

答案： 2.B

3. 一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了 30 人，计算得这 30 人的平均身高为 154 cm，方差为 30；从初二年级随机抽取了 40 人，计算得这 40 人的平均身高为 167 cm，方差为 20；从初三年级随机抽取了 30 人，计算得这 30 人的平均身高为 170 cm，方差为 10。依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为64.4。

答案： 3.64.4 解析:初一学生的样本记为$x_{1}$，$x_{2}$，$·s$，$x_{30}$，方差记为$s_{1}^{2}$，初二学生的样本记为$y_{1}$，$y_{2}$，$·s$，$y_{40}$，方差记为$s_{2}^{2}$，初三学生的样本记为$z_{1}$，$z_{2}$，$·s$，$z_{30}$，方差记为$s_{3}^{2}$，设样本的平均数为$\overline{\omega}$，则$\overline{\omega}=\frac{30×154 + 40×167 + 30×170}{100}=164$，设样本的方差为$s^{2}$。
则$s^{2}=\frac{1}{100}\left[\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-\overline{\omega})^{2}+\sum_{i = 1}^{40}(y_{i}-\overline{\omega})^{2}+\sum_{i = 1}^{30}(z_{i}-\overline{\omega})^{2}\right]$
$=\frac{1}{100}\left[\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-\overline{x}+\overline{x}-\overline{\omega})^{2}+\sum_{i = 1}^{40}(y_{i}-\overline{y}+\overline{y}-\overline{\omega})^{2}+\sum_{i = 1}^{30}(z_{i}-\overline{z}+\overline{z}-\overline{\omega})^{2}\right]$。
又$\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-\overline{x})=30\overline{x}-30\overline{x}=0$。
所以$2(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-\overline{\omega})=(\overline{x}-\overline{\omega})\sum_{i = 1}^{30}2(x_{i}-\overline{x})=0$，同理$\sum_{i = 1}^{40}2(y_{i}-\overline{y})(\overline{y}-\overline{\omega})=0$，$\sum_{i = 1}^{30}2(z_{i}-\overline{z})(\overline{z}-\overline{\omega})=0$，
因此，$s^{2}=\frac{1}{100}\left[\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-\overline{x})^{2}+\sum_{i = 1}^{40}(y_{i}-\overline{y})^{2}+\sum_{i = 1}^{30}(z_{i}-\overline{z})^{2}+\sum_{i = 1}^{40}(\overline{y}-\overline{\omega})^{2}+\sum_{i = 1}^{30}(\overline{z}-\overline{\omega})^{2}+\sum_{i = 1}^{30}(\overline{x}-\overline{\omega})^{2}\right]$
$=\frac{1}{100}\left[30s_{1}^{2}+30(\overline{x}-\overline{\omega})^{2}+40s_{2}^{2}+40(\overline{y}-\overline{\omega})^{2}+30s_{3}^{2}+30(\overline{z}-\overline{\omega})^{2}\right]$
$=\frac{1}{100}×\left\{30×\left[30 + (154 - 164)^{2}\right]+40×\left[20 + (167 - 164)^{2}\right]+30×\left[10 + (170 - 164)^{2}\right]\right\}=64.4$
故答案为$64.4$。

4. 某示范农场的鱼塘放养鱼苗 8 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为 95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼的质量为 2.5 kg；第二网捞出 25 条，称得平均每条鱼的质量为 2.2 kg，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼的质量为 2.8 kg。试估计鱼塘中鱼的总质量为192280 kg。

答案： 4.192280 解析:鱼塘中平均每条鱼的质量约为$\overline{x}=\frac{40×2.5 + 25×2.2 + 35×2.8}{40 + 25 + 35}=2.53$（kg），所以估计鱼塘中鱼的总质量为$80000×95\%×2.53 = 192280$（kg）。

5. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=$\frac{认可程度平均分}{100}$）不低于 0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改。为此该部门随机调查了 600 名学生，根据这 600 名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图。

（1）求直方图中 x 的值和第 60 百分位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于 80 分的学生中用分层抽样的方法随机选取 30 人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由。

答案： 5.解:
(1)由图可知:$10×(x + 0.015 + 0.02 + 0.03 + 0.025)=1$，解得$x = 0.01$。
因为，$[50,80)$内的频率为$0.1 + 0.15 + 0.2 = 0.45＜0.6$，
$[50,90)$内的频率为$0.1 + 0.15 + 0.2 + 0.3 = 0.75＞0.6$，所以，第$60$百分位数位于区间$[80,90)$内，设为$m$，则$m = 80+\frac{0.6 - 0.45}{0.3}×(90 - 80)=85$，所以，第$60$百分位数为$85$。
(2)低于$80$分的学生中三组学生的人数比例为$0.1:0.15:0.2 = 2:3:4$，则应选取评分在$[60,70)$的学生人数为$30×\frac{3}{2 + 3 + 4}=10$（人）。
(3)由图可知，认可程度平均分为$\overline{x}=55×0.1 + 65×0.15 + 75×0.2 + 85×0.3 + 95×0.25 = 79.5＜0.85×100 = 85$，所以，“美食”工作需要进一步整改。