《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

6. (多选)某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分(分数为整数，满分 100 分)，发现分数均在 $[40,100]$ 内，从中随机抽取一个容量为 300 的样本，并将这些数据分成 6 组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形(如图所示)，则下列说法中，正确的有(AB)


A.样本中分数落在 $[60,70)$ 的频数为 45 人
B.样本的众数为 75 分
C.样本的平均数为 75 分
D.样本的第 80 百分位数为 85 分

答案： 6.AB 解析：设分数落在[60,70)的频率为x，
由题意得，各组频率依次为0.005×10=0.05，0.015×10=0.15，x，0.030×10=0.3，0.025×10=0.25，0.010×10=0.1，
所以0.05+0.15+x+0.3+0.25+0.1=1，解得x=0.15.
对于A，样本中分数落在[60,70)的频数为300x=300×0.15=45人，故A正确；
对于B，由题意知，样本中[70,80)的频率最高，所以众数为75分，故B正确；
对于C，样本的平均数为0.05×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=73.5分，故C错误；
对于D，分数小于80的频率为0.05+0.15+0.15+0.3=0.65，分数小于90的频率为0.65+0.25=0.9，所以样本的第80百分位数位于[80,90)，设为a，
则0.65+(a—80)×0.025=0.8，解得a=86，故D错误.

7. 一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为。

答案： 田径队总人数为$48 + 36=84$人。
分层抽样的抽样比为$\frac{21}{84}=\frac{1}{4}$。
抽取男运动员的人数为$48×\frac{1}{4} = 12$。
12

8. 已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取 200 袋检查，若第一组抽出的号码是 7，则第六十一组抽出的号码为907。

答案： 8.907 解析：因为3000÷200=15，所以第六十一组抽出的号码为7+60×15=907.

9. 期末考试后，班长算出了全班 50 名同学的数学成绩的平均分为 $\overline{x}$，方差为 $s_{1}^{2}$。如果把 $\overline{x}$ 当成一个同学的分数，与原来的 50 个分数一起，算出这 51 个分数的方差为 $s_{2}^{2}$，那么 $\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=$\frac{51}{50}。

答案： $9.\frac{51}{50} $解析：平均数没变还是$\bar{x}，$
$s₁²=\frac{1}{50}[(x₁—\bar{x})²+(x₂—\bar{x})²+⋯+(x_{50}—\bar{x})²]$
$s₂²=\frac{1}{51}[(x₁—\bar{x})²+(x₂—\bar{x})²+⋯+(x_{50}—\bar{x})²+( \bar{x}—\bar{x})²]$
$=\frac{1}{51}[(x₁—\bar{x})²+(x₂—\bar{x})²+⋯+(x_{50}—\bar{x})²]$
所以$\frac{s₁²}{s₂²}=\frac{51}{50}.$

10. 某射击选手射击一次，击中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.3，0.4，0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于 9 环的概率是0.7，击中小于 8 环的概率是0.2。

答案： 10.0.7 0.2 解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A，B，C，
则P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.1，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7，
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8，
所以P=1—0.8=0.2.

11. 某制造商 3 月生产了一批乒乓球，随机抽取 100 个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据分组如下：


（1）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；
（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为 40.00mm，试求这批球的直径误差不超过 0.03mm 的概率；
（3）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间 39.99～40.01 的中点值是 40.00）作为代表。据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）。

答案： 11.解：
(1)频率分布表如下：
分组 频数 频率
39.95～39.97 10 0.10
39.97～39.99 20 0.20
39.99～40.01 50 0.50
40.01～40.03 20 0.20
合计 100 1
频率分布直方图如图.
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(2)]
(2)误差不超过0.03mm，即直径落在39.97～40.03内的概率为0.2+0.5+0.2=0.9.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20≈40.00(mm).