《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 若函数 $ f(x)=(a^{2}-3a + 3)\log_{a}x $ 是对数函数，则 $ a $ 的值是(C)

A.1 或 2
B.1
C.2
D.$ a＞0 $ 且 $ a\neq1 $

答案： 1.C解析:
∵函数f(x)=(a²−3a+3)logₐx是对数函数，
∴a²−3a+3=1，a＞0，且a≠1，解得a = 1或a = 2，
∴a = 2，故选C.

2. 函数 $ f(x)=\log_{2}(x^{2}-2x - 3) $ 的单调增区间是(D)

A.$ (1,3) $
B.$ (1,+\infty) $
C.$ (-\infty,1) $
D.$ (3,+\infty) $

答案： 2.D解析:f(x)=log₂(x²−2x−3)要满足x²−2x−3＞0，解得:x＞3或x＜−1，又y = log₂u是增函数，所以只需求出g(x)=x²−2x−3的单调递增区间，g(x)=x²−2x−3的对称轴为x = 1，且开口向上，结合函数的定义域可得:f(x)=log₂(x²−2x−3)的单调递增区间为(3,+∞)，故选D.

3. 函数 $ f(x)=\frac{\sqrt{2x + 1}}{\lg(x - 1)} $ 的定义域是(D)

A.$ \left\{x\left|x\geqslant-\frac{1}{2}\right.\right\} $
B.$ \{x|x＞1\} $
C.$ \left\{x\left|x\geqslant-\frac{1}{2},且x\neq2\right.\right\} $
D.$ \{x|x＞1,且x\neq2\} $

答案： 3.D解析:要使f(x)有意义，则应有{2x + 1≥0，x - 1＞0，x - 1≠1}，解得x＞1，且x≠2.故选D.

4. 若函数 $ f(x)=a^{x + 2}+1 $ 与 $ g(x)=\log_{a}(2x + m)+n(a＞0,且a\neq1) $ 的图像经过同一个定点，则 $ m^{n} $ 的值是(A)

A.25
B.32
C.5
D.2

答案： 4.A解析:函数f(x)=aˣ⁺² + 1图像过定点(−2,2)，函数g(x)=logₐ(2x + m)+n图像过定点((1 - m)/2,n)，依题意，{(1 - m)/2 = -2，n = 2}，解得m = 5，n = 2，则mⁿ = 5² = 25，所以nᵐ的值是25.

5. 若函数 $ f(x)=\log_{a}(x + b) $ 的图像如图所示，其中 $ a,b $ 为常数，则函数 $ g(x)=a^{x}+b $ 的图像大致是(D)

答案： 5.D解析:由f(x)图像可知0＜a＜1，0＜b＜1，故g(x)的图像应为D.

6. 已知函数 $ f(x)=\log_{a}|x + 1| $ 在 $ (-1,0) $ 上有 $ f(x)＞0 $，那么(C)

A.$ f(x) $ 在 $ (-\infty,0) $ 上是增函数
B.$ f(x) $ 在 $ (-\infty,0) $ 上是减函数
C.$ f(x) $ 在 $ (-\infty,-1) $ 上是增函数
D.$ f(x) $ 在 $ (-\infty,-1) $ 上是减函数

答案：
6.C解析:当x∈(−1,0)时，|x + 1|∈(0,1)，
∵logₐ|x + 1|＞0，
∴0＜a＜1.画出f(x)的图像如图:
由图可知选C.

7. 已知 $ a\in\mathbf{R} $，若函数 $ y=\lg(x^{2}-ax + 1) $ 定义域为 $ \mathbf{R} $，则实数 $ a $ 的取值范围为(−2,2)。

答案： 7.(−2,2)解析:若函数y = lg(x²−ax + 1)定义域为R，则x²−ax + 1＞0恒成立，有Δ = a²−4＜0，解得−2＜a＜2，即a的取值范围为(−2,2).故答案为(−2,2).

8. 设函数 $ f(x)=\ln(-x^{2}+4x) $ 在 $ (a,a + 1) $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围为[0,1]。

答案： 8.[0,1]解析:由函数−x² + 4x＞0，得0＜x＜4，即函数f(x)的定义域为(0,4)，令g(x)=−x² + 4x，x∈(0,4)，由函数g(x)的对称轴为:x = 2，开口向下，所以g(x)在(0,2]上单调递增，在[2,4)上单调递减，又y = lnx在(0,+∞)上单调递增，所以当函数f(x)在(a,a + 1)上单调递增时，根据复合函数的单调性可知:{a≥0，a + 1≤2}，解得0≤a ≤1.

9. 若函数 $ f(x)=\log_{a}(x + 1) $ 在区间 $ [0,1] $ 上的最大值与最小值之和为 $ -1 $，则 $ a = $1/2。

答案： 9.1/2解析:当a＞1时，f(x)单调递增；当0＜a＜1时，f(x)单调递减，所以最大值与最小值的和均为f
(0)+f
(1)=logₐ1 + logₐ2 = logₐ2.所以logₐ2 = −1，即a = 1/2.

10. 已知 $ f(x)=\begin{cases}(1 - 2a)x + 5a,x＜1\\\log_{7}x,x\geqslant1\end{cases}$ 的值域为 $ \mathbf{R} $，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______ 。

答案： 10.[−1/3,1/2)解析:要使函数f(x)的值域为R，则必须满足{1 - 2a＞0，log₇1≤1 - 2a + 5a}，即{a＜1/2，a≥−1/3}，所以−1/3≤a＜1/2.