《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

12. 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为 $ Q_1 $ 万元和 $ Q_2 $ 万元，它们与投入的资金 $ x $ 万元的关系是 $ Q_1 = \frac{1}{5}x $，$ Q_2 = \frac{3}{5}\sqrt{x} $. 现有 3 万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？

答案： 12.解:设对甲种商品投资$x$万元,则对乙种商品投资$(3 - x)$万元,总利润为$y$万元.
所以$Q_1 = \frac{1}{5}x$,$Q_2 = \frac{3}{5} \sqrt{3 - x}$.
所以$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5} \sqrt{3 - x} (0 \leq x \leq 3)$,
令$t = \sqrt{3 - x} (0 \leq t \leq \sqrt{3})$,则$x = 3 - t^2$.
所以$y = \frac{1}{5}(3 - t^2) + \frac{3}{5}t = - \frac{1}{5} \left( t - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{21}{20}$.
当$t = \frac{3}{2}$时,$y_{\max} = \frac{21}{20} = 1.05$(万元),即$x = \frac{3}{4} = 0.75$(万元),所以$3 - x = 2.25$(万元).
由此可知,为获得最大利润,对甲,乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,共获得利润1.05万元.

1. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(B)


A.$ y = 2x - 2 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x^2 - 1) $
C.$ y = \log_2 x $
D.$ y = \log_{\frac{1}{2}} x $

答案： 1.B

2. 某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该民企 2019 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：$ \lg 1.12 \approx 0.05 $，$ \lg 1.3 \approx 0.11 $，$ \lg 2 \approx 0.30 $)(D)

A.2020 年
B.2021 年
C.2022 年
D.2023 年

答案： 2.D