《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

13. 已知一组数据$x_{1}$，$x_{2}$，$·s$，$x_{10}$的方差是2，且$(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+·s+(x_{10}-3)^{2}=380$，则这组数据的平均数$\overline{x}=$-3或9.

答案： 13.-3或9 解析：由题意可知，$\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}(x_i - \overline{x})^2 = 2\Leftrightarrow\sum_{i = 1}^{10}x_i^2 - 2x\sum_{i = 1}^{10}x_i + 10x^2 = 20$，
因为$x=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}x_i$，即$\sum_{i = 1}^{10}x_i = 10x$，所以$\sum_{i = 1}^{10}x_i^2 = 20 + 10x^2$，
因为$(x_1 - 3)^2+(x_2 - 3)^2+·s+(x_{10} - 3)^2=\sum_{i = 1}^{10}x_i^2 - 6\sum_{i = 1}^{10}x_i + 90 = 380$，
所以$20 + 10x^2 - 60x + 90 = 380$，解得$x = - 3$或9.

14. 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从甲箱中取出的.

答案： 14.甲 解析：
∵甲箱有99个白球1个黑球，
∴随机地取出一球，得白球的可能性是$\frac{99}{100}$，
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是$\frac{1}{100}$，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的.
∴我们作出推断是从甲箱中抽出的.故答案为甲.

1. (13 分)一只口袋中有形状大小质地都相同的 4 只小球,这 4 只小球上分别标记着数字 1,2,3,4,甲、乙、丙三名学生约定:
(ⅰ)每个不放回地随机摸取一个球;
(ⅱ)按照甲、乙、丙的次序依次摸取;
(ⅲ)谁摸取的球的数字最大,谁就获胜.
用有序数组$(a,b,c)$表示这个试验的基本事件,例如:$(1,4,3)$表示在一次试验中,甲摸取的是数字 1,乙摸取的是数字 4,丙摸取的是数字 3;$(3,1,2)$表示在一次试验中,甲摸取的是数 3,乙摸取的是数字 1,丙摸取的是数字 2.
(1)列出基本事件,并指出基本事件的总数;
(2)求甲获胜的概率;
(3)写出乙获胜的概率,并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关?

答案： 1. 解：
(1)基本事件为：
(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),
(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),
(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,1),(3,4,2),
(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),(4,3,2).
基本事件的总数是24. (4分)
(2)事件“甲获胜”所包含的基本事件为：
(3,1,2),(3,2,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),
(4,3,1),(4,3,2).
甲获胜的概率P=$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$. (9分)
(3)乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$; 甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关. (13分)
名师点睛 该题考查的是有关随机事件的概率问题，涉及的知识点有基本事件一一列举，找出满足条件的基本事件，分析问题和解决问题的能力，注意对基础知识要牢固掌握.

2. (13 分)甲、乙两人玩卡片游戏:他们手里都拿着分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片,各自从自己的卡片中随机抽出 1 张,规定两人谁抽出的卡片上的数字大,谁就获胜,数字相同则为平局.
(1)求甲获胜的概率.
(2)现已知他们都抽出了标有数字 6 的卡片,为了分出胜负,他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出 1 张,若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数,则甲获胜,否则乙获胜. 请问:这个规则公平吗,为什么?

答案： 2. 解：
(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6),共36种. (3分)
其中事件“甲获胜”包含的结果为：
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),有15种.
所以甲获胜的概率为$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$. (6分)
(2)两人各自从手里剩下的卡片中随机抽出1张，所有可能的结果为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(5,5),共25种.
其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：
(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),
(4,2),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13种.
根据规则，甲获胜的概率为$\frac{13}{25}$,则乙获胜的概率为$\frac{12}{25}$,所以这个规则不公平. (13分)
点睛 本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.