《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

11. 已知函数 $ f(x)=a^{x - 1}(x\geqslant 0) $ 的图像经过点 $ (2,\frac{1}{2}) $，其中 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 求函数 $ y = f(x) + 1(x\geqslant 0) $ 的值域.

答案： 11.解：
(1)因为函数$f(x)=a^{x - 1}(x\geqslant 0)$的图像经过点$(2,\frac{1}{2})$，所以$a^{2 - 1}=a=\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)得$f(x)=(\frac{1}{2})^{x - 1}(x\geqslant 0)$，函数为减函数，当$x = 0$时，函数取最大值$2$，则$f(x)\in(0,2]$，所以函数$y = f(x)+1=(\frac{1}{2})^{x - 1}+1(x\geqslant 0)\in(1,3]$，故函数$y = f(x)+1(x\geqslant 0)$的值域为$(1,3]$.

12. 已知函数 $ f(x)=a^{x} + b(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $.
(1) 若函数 $ f(x) $ 的图像过点 $ (0,2) $，求 $ b $ 的值；
(2) 若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [2,3] $ 上的最大值比最小值大 $ \frac{a^{2}}{2} $，求 $ a $ 的值.

答案： 12.解：
(1)$f(0)=a^{0}+b = 1 + b = 2$，解得$b = 1$.
(2)当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$在区间$[2,3]$上单调递减，此时$f(x)_{\max}=f(2)=a^{2}+1$，$f(x)_{\min}=f(3)=a^{3}+1$，所以$a^{2}+1-(a^{3}+1)=\frac{a^{2}}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$或$0$（舍去）；
当$a ＞ 1$时，$f(x)$在区间$[2,3]$上单调递增，此时$f(x)_{\min}=f(2)=a^{2}+1$，$f(x)_{\max}=f(3)=a^{3}+1$，所以$a^{3}+1-(a^{2}+1)=\frac{a^{2}}{2}$，解得：$a=\frac{3}{2}$或$0$（舍去）.
综上：$a=\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$.

1. 已知 $ f(x) $ 是奇函数，$ g(x) $ 是偶函数，且 $ f(x) + g(x)=\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} + 2x^{2} - 3 $，则不等式 $ f(3 - 2x) ＞ f(x + 2) $ 的解集是(A)

A.$ (-\infty,\frac{1}{3}) $
B.$ (\frac{1}{3},+\infty) $
C.$ (-\infty,\frac{1}{3})\cup(5,+\infty) $
D.$ (\frac{1}{3},5) $

答案： 1.A 解析：因为$f(x)+g(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}+2x^{2}-3$①，且$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，则$f(-x)+g(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}+2x^{2}-3$，即$-f(x)+g(x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}+2x^{2}-3$②，
由①②可得$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，
因为函数$y = e^{x}$，$y = -e^{-x}$均为$\mathbf{R}$上的增函数，所以，函数$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$为$\mathbf{R}$上的增函数，
由$f(3 - 2x)＞f(x + 2)$，可得$3 - 2x＞x + 2$，解得$x＜\frac{1}{3}$.
因此，不等式$f(3 - 2x)＞f(x + 2)$的解集是$(-\infty,\frac{1}{3})$.
故选A.

2. 已知函数$ f(x)=\begin{cases}a^{x},x ＜ 0,\a - 2)x + 3a,x\geqslant 0\end{cases}$满足对任意$ x_{1} \neq x_{2} ，$都有$ (x_{1} - x_{2})[f(x_{1}) - f(x_{2})] ＜ 0 $成立，则 a 的取值范围是( )
$A. (0,\frac{1}{3}] $
$B. [\frac{3}{4},2) $
C. (0,1)
$D. (2,+\infty) $

答案： 2.A 解析：$\because$对任意$x_{1}\neq x_{2}$，都有$(x_{1}-x_{2})[f(x_{1})-f(x_{2})]＜0$成立，$\therefore$函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，$\therefore\begin{cases}0 ＜ a ＜ 1,\\a^{0}\geqslant 3a,\end{cases}$解得$0 ＜ a\leqslant\frac{1}{3}$，故$a$的取值范围是$(0,\frac{1}{3}]$. 故选A.

3. 函数 $ y = a^{x - 1} + 1(a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $ 图像过定点 $ A(x_{0},y_{0}) $，且 $ \begin{cases}x = x_{0},\\y = y_{0}\end{cases}$ 满足方程 $ mx + ny = 3(m ＞ 1,n ＞ 0) $，则 $ \frac{1}{m - 1} + \frac{2}{n} $ 最小值为 ______ .

答案： 3.$\frac{9}{2}$ 解析：由$y = a^{x - 1}+1$，$(a ＞ 0$且$a\neq 1)$，令$x = 1$，得$y = a^{0}+1 = 2$，$\therefore$定点A的坐标为$(1,2)$，代入$mx + ny = 3$得，$m + 2n = 3$即$(m - 1)+2n = 2$，$m＞1,n＞0$，
$\therefore\frac{1}{m - 1}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}[(m - 1)+2n](\frac{1}{m - 1}+\frac{2}{n})$
$=\frac{1}{2}(5+\frac{2n}{m - 1}+\frac{2(m - 1)}{n})\geqslant\frac{1}{2}(5 + 2\sqrt{\frac{2n}{m - 1}×\frac{2(m - 1)}{n}})=\frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{2n}{m - 1}=\frac{2(m - 1)}{n}$，即$m=\frac{5}{3}$，$n=\frac{2}{3}$时，等号成立，
$\therefore\frac{1}{m - 1}+\frac{2}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$.
故答案为$\frac{9}{2}$.

4. 已知 $ a = (\frac{1}{3})^{-1.1} $，$ b = \pi^{0} $，$ c = 3^{0.9} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 三者的大小关系$b ＜ c ＜ a$.

答案： 4.$b ＜ c ＜ a$ 解析：$a = (\frac{1}{3})^{-1.1}=3^{1.1}$，$b = \pi^{0}=3^{0}$，构造函数$f(x)=3^{x}$，为$\mathbf{R}$上的递增函数，$\because 0 ＜ 0.9 ＜ 1.1$，$\therefore b ＜ c ＜ a$. 故答案为$b ＜ c ＜ a$.

5. 已知函数 $ f(x)=\frac{2^{x} - a· 2^{-x}}{2^{x} + 2^{-x}} $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数.
(1) 求实数 $ a $ 的值；
(2) 判断函数 $ y = f(x) $ 的单调性并简要说明理由；
(3) 求函数 $ f(x) $ 的值域.

答案： 5.解：
(1)因为函数$f(x)=\frac{2^{x}-a· 2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}}$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，即$\frac{2^{0}-a· 2^{-0}}{2^{0}+2^{-0}}=0$，解得$a = 1$.
当$a = 1$时，$f(x)=\frac{2^{x}-2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}}$，$f(-x)=\frac{2^{-x}-2^{x}}{2^{-x}+2^{x}}=-f(x)$，所以是奇函数，故$a = 1$.
(2)$f(x)=\frac{2^{x}-2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}}=1-\frac{2}{2^{2x}+1}$，
设任意$x_{1}$，$x_{2}\in\mathbf{R}$，且$x_{1}＞x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=(1-\frac{2}{2^{2x_{1}}+1})-(1-\frac{2}{2^{2x_{2}}+1})=\frac{2}{2^{2x_{2}}+1}-\frac{2}{2^{2x_{1}}+1}$，
因为$x_{1}＞x_{2}$，所以$2^{2x_{1}+1}-2^{2x_{2}+1}＞0$，则$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$，即$f(x_{1})＞f(x_{2})$，故$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增.
(3)$f(x)=1-\frac{2}{2^{2x}+1}(x\in\mathbf{R})$，
因为$2^{2x}\in(0,+\infty)$，所以$0＜\frac{2}{2^{2x}+1}＜2$，函数$f(x)$的值域为$(-1,1)$.