《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

1. 甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过 3 次传球后乙恰接到 1 次球的概率为(C)

A.$\frac{14}{27}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{16}{27}$
D.$\frac{17}{27}$

答案： 1. C 解析：传球的结果可以分为：分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁乙甲，丁甲乙，丁丙甲，丁甲丙，丁丙甲，丙甲丁，丁甲丙，共15种；共27种.只传乙一次的有16种.所以所求概率为$P=\frac{16}{27}$.

2. 设 $a$ 是从集合 $\{1,2,3,4\}$ 中随机取出的一个数，$b$ 是从集合 $\{1,2,3\}$ 中随机取出的一个数，构成一个基本事件 $(a,b)$。记“这些基本事件中，满足 $\log_b a \geq 1$”为事件 $E$，则 $E$ 发生的概率是$\frac{5}{12}$。

答案： 2. $\frac{5}{12}$解析：满足条件的事件要满足$\log_{b}a\geq1$，可以列举出所有的事件.当$b = 2$时，$a = 2,3,4$，当$b = 3$时，$a = 3,4$，共有$3 + 2 = 5$个，所以根据古典概型的概率公式得到事件E发生的概率为$\frac{5}{12}$.

3. 第 1，2，5，7 路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着 1 路或 5 路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是$\frac{1}{2}$。

答案： 3. $\frac{1}{2}$解析：$\because$四路公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，$\therefore P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

4. 一个袋子中有 4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出 2 个球。
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
（3）如果是 4 个红球，$n$ 个绿球，已知取出的 2 个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$，那么 $n$ 是多少？

答案： 4. 解：
(1)从10个球中不放回地随机取出2个共有$10×9 = 90$(种)可能，即$n(\Omega)=90$.设事件A =“两次取出的都是红球”，则$n(A)=4×3 = 12$.设事件B =“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则$n(B)=4×6 = 24$.设事件C =“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则$n(C)=6×4 = 24$.设事件D =“两次取出的都是绿球”，则$n(D)=6×5 = 30$.事件A，B，C，D两两互斥.$\therefore P$(第二次取到红球)=$P(A\cup C)=\frac{12 + 24}{90}=\frac{2}{5}$.
(2)$P$(两次取到的球颜色相同)=$\frac{4×3 + 6×5}{10×9}=\frac{7}{15}$.
(3)$\because P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1}{6}$，$\therefore n(\Omega)=n(A)×6 = 12×6 = 72$.又$n(\Omega)=(n + 4)(n + 3)$，$\therefore(n + 4)(n + 3)=72$，解得$n = 5$.

5. 田忌赛马是历史上有名的故事。设齐王的三匹马分别为 $A$，$B$，$C$，田忌的三匹马分别为 $a$，$b$，$c$。三匹马各比赛一次，胜两场者获胜。若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：$A ＞ a ＞ B ＞ b ＞ C ＞ c$。
（1）正常情况下，求田忌获胜的概率；
（2）为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马 $A$，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率。

答案： 5. 解：
(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa,Bb,Cc)，(Aa,Bc,Cb)，(Ab,Ba,Cc)，(Ab,Bc,Ca)，(Ac,Ba,Cb)，(Ac,Bb,Ca).经分析：仅有配对为(Ac,Ba,Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为$\frac{1}{6}$.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac,Ba,Cb)，(Ac,Bb,Ca)，配对为(Ac,Ba,Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为$\frac{1}{2}$.
故
(1)正常情况下，田忌获胜的概率为$\frac{1}{6}$；
(2)获得信息后，田忌获胜的概率为$\frac{1}{2}$.