《2025年高中同步测控优化训练高中数学必修第二册人教B》

11. 已知实数$x$满足$4^x - 10 · 2^x + 16 \leq 0$，求函数$y = (\log_3 x)^2 - \log_3 \sqrt{x} + 2$的值域.

答案： 11.解:不等式$4^x - 10 · 2^x + 16 \leq 0$可化为$(2^x)^2 - 10 · 2^x + 16 \leq 0$，即$(2^x - 2)(2^x - 8) \leq 0$.
从而有$2 \leq 2^x \leq 8$，即$1 \leq x \leq 3$.
所以$0 \leq \log_3x \leq 1$.
由于函数$y = (\log_3x)^2 - \log_3\sqrt{x} + 2$可化为$y = (\log_3x)^2 - \frac{1}{2}\log_3x + 2 = (\log_3x - \frac{1}{4})^2 + \frac{31}{16}$，
当$\log_3x = \frac{1}{4}$时，$y_{\min} = \frac{31}{16}$；
当$\log_3x = 1$时，$y_{\max} = \frac{5}{2}$.
所以，所求函数的值域为$[\frac{31}{16}, \frac{5}{2}]$.

12. 已知函数$f(x) = \lg(ax^2 + 2x + 1)$.
(1) 若函数的定义域为$\mathbf{R}$，求实数$a$的取值范围；
(2) 若函数的值域为$\mathbf{R}$，求实数$a$的取值范围.

答案： 12.解:
(1)若$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，
则关于$x$的不等式$ax^2 + 2x + 1 ＞ 0$的解集为$\mathbf{R}$，
结合二次函数图像可得$\begin{cases}a ＞ 0, \\2^2 - 4a ＜ 0,\end{cases}$解得$a ＞ 1$.即实数$a$的取值范围是$(1, +\infty)$.
(2)若函数$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$，
则$ax^2 + 2x + 1$可取一切正实数，
结合函数图像可得$a = 0$或$\begin{cases}a ＞ 0, \\2^2 - 4 · a · 1 \geq 0,\end{cases}$解得$0 \leq a \leq 1$.即实数$a$的取值范围是$[0,1]$.

1. 若$x_1$满足$2^x = 5 - x$，$x_2$满足$x + \log_2 x = 5$，则$x_1 + x_2$等于(D)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： 1.D解析:由题意$5 - x_1 = 2^{x_1}$，则$5 - x_2 = \log_2x_2$.
故$x_1$和$x_2$是直线$y = 5 - x$和曲线$y = 2^x$、曲线$y = \log_2x$交点的横坐标.
根据函数$y = 2^x$和函数$y = \log_2x$互为反函数，它们的图像关于直线$y = x$对称.
所以曲线$y = 2^x$和曲线$y = \log_2x$的图像交点关于直线$y = x$对称.
即点$(x_1,5 - x_1)$和点$(x_2,5 - x_2)$构成的线段的中点在直线$y = x$上，
即$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{5 - x_1 + 5 - x_2}{2}$，求得$x_1 + x_2 = 5$，故选D.

2. 若函数$f(x) = (e^x - e^{-x})x$，$f(\log_5 x) + f(\log_{\frac{1}{5}} x) \leq 2f(1)$，则$x$的取值范围是(C)

A.$[\frac{1}{5},1]$
B.$[1,5]$
C.$[\frac{1}{5},5]$
D.$(-\infty,\frac{1}{5}] \cup [5,+\infty)$

答案： 2.C

3. 已知$f(x)$是在定义域$(0,+\infty)$上的单调函数，且对任意$x \in (0,+\infty)$都满足：$f(f(x) - 2\log_2 x) = 4$，则满足不等式$f(x) - 2 ＜ \log_2(3x)$的$x$的取值范围是$(0,3)$.

答案： 3.$(0,3)$解析:由题意得$f(x) - 2\log_2x$为正常数，令$f(x) - 2\log_2x = t$，$t ＞ 0$，则$f(x) = 2\log_2x + t$，且$f(t) = 2\log_2t + t = 4$，解得$t = 2$，原不等式为$2\log_2x ＜ \log_2(3x)$，可得$\begin{cases}x ＞ 0, \\x^2 ＜ 3x,\end{cases}$解得$0 ＜ x ＜ 3$，故答案为$(0,3)$.

4. 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(0) = 0$，当$x ＞ 0$时，$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$.
(1) 求函数$f(x)$的解析式；
(2) 解不等式$f(x^2 - 1) ＞ -2$.

答案： 4.解:
(1)当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，则$f(-x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x)$.
因为函数$f(x)$是偶函数，
所以$f(-x) = f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x)$，
所以函数$f(x)$的解析式为$f(x) = \begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}x, x ＞ 0, \\0, x = 0, \\\log_{\frac{1}{2}}(-x), x ＜ 0.\end{cases}$
(2)因为$f(4) = \log_{\frac{1}{2}}4 = -2$，$f(x)$是偶函数，
所以不等式$f(x^2 - 1) ＞ -2$转化为$f(|x^2 - 1|) ＞ f(4)$.
又因为函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上是减函数，
所以$|x^2 - 1| ＜ 4$，解得$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$，
即不等式的解集为$(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.

5. 设$x \in [2,8]$时，函数$f(x) = \frac{1}{2} \log_a(ax) · \log_a(a^2 x)$（$a ＞ 0$，且$a \neq 1$）的最大值是$1$，最小值是$-\frac{1}{8}$，求$a$的值.

答案： 5.解:由题意知$f(x) = \frac{1}{2}(\log_ax + 1) · (\log_ax + 2) = \frac{1}{2}[(\log_ax)^2 + 3\log_ax + 2] = \frac{1}{2}(\log_ax + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{8}$.
当$f(x)$取最小值$-\frac{1}{8}$时，$\log_ax = -\frac{3}{2}$.
又$\because x \in [2,8]$，$\therefore a \in (0,1)$.
$\because f(x)$是关于$\log_ax$的二次函数，
$\therefore$函数$f(x)$的最大值必在$x = 2$或$x = 8$时取得.
若$\frac{1}{2}(\log_a2 + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{8} = 1$，则$a = 2^{-\frac{1}{3}}$，
此时$f(x)$取得最小值，
$x = (2^{-\frac{1}{3}})^{-\frac{3}{2}} = \sqrt{2} \notin [2,8]$，舍去.
若$\frac{1}{2}(\log_a8 + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{8} = 1$，则$a = \frac{1}{2}$，
此时$f(x)$取得最小值时，$x = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} \in [2,8]$，符合题意，故$a = \frac{1}{2}$.