《2025年一遍过高中物理必修第二册人教版》

1 (多选)在宇宙空间,存在两颗或多颗质量差别不大的星体,它们离其他星体很远,在彼此间的万有引力作用下绕彼此连线上的一点稳定转动,组成双星或多星系统。如图所示,某双星系统两星球A、B质量分别为$m_{1}$、$m_{2}$,运行半径分别为$r_{1}$、$r_{2}$,且$r_{1}＜r_{2}$,球心连线长度为$L$,运动周期为$T$,引力常量为$G$,则( )


A.两星球的质量之比为$m_{1}:m_{2}=r_{1}:r_{2}$
B.两星球的质量之比为$m_{1}:m_{2}=r_{2}:r_{1}$
C.可以计算出两星球总质量为$\frac{4\pi^{2}L^{3}}{GT^{2}}$
D.$A$的线速度大于$B$的线速度

答案： 1 BC 双星系统中两星星之间的万有引力分别提供各自做圆周运动的向心力，且两者周期相同，有$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1\frac{4\pi^2}{T^2}r_1$，$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_2\frac{4\pi^2}{T^2}r_2$，解得$m_1=\frac{4\pi^2r_2L^2}{GT^2}$，$m_2=\frac{4\pi^2r_1L^2}{GT^2}$，由此可得两星星的质量之比为$m_1:m_2=r_2:r_1$，两星星的质量之和为$m_1+m_2=\frac{4\pi^2L^3}{GT^2}$，故选项A错误，BC正确；由于二者周期相同，故角速度相同，而线速度$v = \omega r$，由于$r_1 ＜ r_2$，则A的线速度小于B的线速度，故选项D错误。

2 (多选)[2025江苏苏州十中月考]假设宇宙中有一双星系统由质量分别为$m$和$M$的$A$、$B$两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动,如图所示,$A$、$B$两颗星的距离为$L$,引力常量为$G$。下列说法正确的是( )


A.因为$OA＞OB$,所以$m＜M$
B.两颗星做圆周运动的周期为$2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G(M + m)}}$
C.若星体$A$由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得其质量缓慢增大,其他量不变,则星体$A$的周期将缓慢减小
D.若星体$A$由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得其质量缓慢增大,其他量不变,则星体$A$的轨道半径将缓慢增大

答案： 2 ABC 双星系统周期、角速度相同，设A、B两颗星体的轨道半径分别为$r_1$、$r_2$，双星之间的万有引力提供向心力，则有$\frac{GMm}{L^2}=m\omega^2r_1$，$\frac{GMm}{L^2}=M\omega^2r_2$，两式联立得$mr_1 = Mr_2$，因为$OA ＞ OB$，即$r_1 ＞ r_2$，所以有$m ＜ M$，A正确；$L = r_1 + r_2$，$\frac{GMm}{L^2}=m\omega^2r_1$，$\frac{GMm}{L^2}=M\omega^2r_2$，$T = \frac{2\pi}{\omega}$，联立解得$T = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(M + m)}}$，B正确；由以上分析可知，若$m$缓慢增大，其他量不变，周期$T$变小，C正确；由$mr_1 = Mr_2$可知，若星体A不断吸附宇宙中的尘埃而使得其质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的轨道半径将缓慢减小，D错误。

3 [2025浙江温州三模]“食双星”是特殊的双星系统,由两颗亮度不同的恒星组成,它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动,且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡,造成观测者观察到双星的亮度$L$发生周期性变化,如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为$r_{1}$和$r_{2}$($r_{1}$和$r_{2}$远小于该双星系统到观测者的距离)。下列说法正确的是( )


A.$t_{2}$时刻,较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为$\frac{r_{2}}{r_{1}}$
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为$t_{2}-t_{1}$
D.较亮的恒星线速度与较暗的恒星线速度之比为$\sqrt{\frac{r_{1}}{r_{2}}}$

答案： 3 B 由题图可知$t_1$时刻较亮的恒星遮挡住较暗的恒星，$t_2$时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星，即$t_1\sim t_2$时间内，两恒星各自转了半个圈，所以周期为$T = 2(t_2 - t_1)$，AC错误；设较亮的恒星和较暗的恒星的质量分别为$m_1$和$m_2$，由彼此间的万有引力提供向心力，故两颗恒星的向心力大小相等，有$G\frac{m_1m_2}{(r_1 + r_2)^2}=m_1\omega^2r = m_2\omega^2r_2$，解得$\frac{m_1}{m_2}=\frac{r_2}{r_1}$，故B正确；设较亮的恒星和较暗的恒星的线速度分别为$v_1$和$v_2$，因角速度相等，则根据$v = r\omega$有$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\omega r_1}{\omega r_2}=\frac{r_1}{r_2}$，故D错误。

4 (多选)[2025河北部分高中模拟考试]宇宙中多数双星系统为圆形轨道,但也有相当一部分双星系统为椭圆轨道,如图,质量均为$m$的两颗恒星组成了双星系统。两恒星的轨道均为椭圆,$O$为两椭圆的公共焦点,两恒星绕$O$点在各自轨道上运行,$P$、$Q$为其中一颗恒星的近焦点与远焦点,两椭圆轨道的半长轴分别为$a_{1}$、$a_{2}$,双星运行周期为$T$。开普勒定律作适当修正后也适用于椭圆轨道双星系统,比如开普勒第二定律可修正为“某恒星与轨迹中心$O$点连线在任意相等时间内扫过的面积均相等”,开普勒第三定律可修正为“$\frac{(a_{1}+a_{2})^{3}}{T^{2}}=k$,$k$仅与双星质量有关”。关于此双星系统,下列说法正确的是( )


A.$k=\frac{Gm}{4\pi^{2}}$
B.$a_{1}＜a_{2}$
C.两恒星位置在任意时刻均关于$O$点对称
D.恒星在$P$点和$Q$点的速度满足$v_{P}＞v_{Q}$

答案： 4 CD 由于两恒星质量相等，所以两恒星运动具有对称性，则两恒星位置在任意时刻均关于$O$点对称，故$a_1 = a_2$，B错误，C正确；根据修正后的开普勒第二定律，双星与$O$点连线在任意相等的时间内扫过的面积有$\frac{1}{2}v_pR_{op}\Delta t = \frac{1}{2}v_QR_{OQ}\Delta t$，$P$、$Q$为恒星的近焦点与远焦点，所以$R_{op} ＜ R_{OQ}$，故有$v_p ＞ v_Q$，D正确；当椭圆的离心率为$0$时，即为圆，椭圆轨道双星系统即可按圆轨道双星系统处理，此时$a = r$，即$a_1 + a_2 = 2r$，由$\frac{Gm^2}{(2r)^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$可得$\frac{r^3}{T^2}=\frac{Gm}{16\pi^2}$，故$\frac{(a_1 + a_2)^3}{T^2}=k = \frac{Gm}{2\pi^2}$，A错误。