《2025年一遍过高中物理必修第二册人教版》

1（多选）河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ ）

A.船渡河的最短时间是60s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度是5m/s

答案： 1 BD 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由题图甲可知河宽为300m，则最短渡河时间t = $\frac{d}{v_1}$ = $\frac{300}{3}$ s = 100s，故A错误，B正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，由于沿河岸方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；根据速度的合成可知，船在水中的最大速度是$v_{max}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ m/s = 5m/s，故D正确。

2（多选）一条河宽为d，河水流速为v₁，小船在静水中的速度为v₂，要使小船在渡河过程中所行路程s最短，则（ ）

A.当v₁ ＜ v₂时，s = d
B.当v₁ ＜ v₂时，s = $\dfrac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}{v_1}d$
C.当v₁ ＞ v₂时，s = $\dfrac{v_1}{v_2}d$
D.当v₁ ＞ v₂时，s = $\dfrac{v_2}{v_1}d$

答案：
2 AC 当$v_1 \lt v_2$时可以垂直过河，如图甲所示，则渡河最短路程s = d，选项A正确，B错误；当$v_1 ＞ v_2$时，小船渡河路程最短时如图乙所示，渡河最短路程为s = $\frac{d}{sin θ}$ = $\frac{v_1}{v_2}$d，选项C正确，D错误。

3 如图，某河流中水流速度大小恒为v₁，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB = $\dfrac{4}{3}r$。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为（二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ）（ ）


A.$\dfrac{3}{5}v_1$
B.$\dfrac{24}{25}v_1$
C.v₁
D.$\dfrac{5}{3}v_1$

答案：
3 B 小船运动情况如图，根据几何关系得$tan θ = \frac{3}{4}$

小船航行时在静水中速度的最小值为$v_2 = v_1 sin 2θ$，解得$v_2 = \frac{24}{25}v_1$，故B正确。

4 [2025湖北武汉汉阳一中月考]2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴举行。已知小船在静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为d = 200m，水流速度为3m/s，方向与河岸平行。
（1）欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？该情况下小船的位移多大？
（2）欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
（3）若河水因涨水导致水流速度变为6m/s，小船在静水中的速度不变，此种情况下渡河最短位移以及其对应的渡河时间分别为多少？

答案：
4 答案
(1)50s 250m
(2)$\frac{200\sqrt{7}}{7}$ s
(3)300m 30$\sqrt{5}$ s
解：
(1)当船头垂直河岸过河时，渡河时间最短，如图1所示

最短时间为$t_{min} = \frac{d}{v_{船}}$ = $\frac{200}{4}$ s = 50s
小船的合速度大小为
v = $\sqrt{v_{船}^2 + v_{水}^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ m/s = 5m/s
此种情况下小船过河的位移大小为
l = $vt_{min}$ = 5×50m = 250m
(2)船在静水的速度大于水流速度，那么最短路移为河宽，如图2所示

这种情况下，小船的合速度大小为
$v_{合} = \sqrt{v_{船}^2 - v_{水}^2}$ = $\sqrt{4^2 - 3^2}$ m/s = $\sqrt{7}$ m/s
当过河位移最短时过河的时间为
t = $\frac{d}{v_{合}}$ = $\frac{200}{\sqrt{7}}$ s = $\frac{200\sqrt{7}}{7}$ s
(3)若水流速度为$v_{水}' = 6m/s$
则$v_{船} \lt v_{水}'$，船不能垂直河岸过河

当船头方向($v_{船}$方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，此种情况下过河情况如图3所示
渡河最短路移为$l' = \frac{d}{sin α}$ = $\frac{dv_{水}'}{v_{船}}$ = $\frac{200×6}{4}$ m = 300m
小船的合速度大小为
$v' = \sqrt{v_{水}'^2 - v_{船}^2}$ = $\sqrt{6^2 - 4^2}$ m/s = 2$\sqrt{5}$ m/s
过河时间为$t' = \frac{l'}{v'}$ = $\frac{300}{2\sqrt{5}}$ s = 30$\sqrt{5}$ s

5（多选）如图所示，一条小河河宽d = 60m，水速v₁ = 3m/s，甲、乙两船在静水中的速度均为v₂ = 4m/s，两船同时从A点出发，且同时到达对岸，其中甲船恰好到达正对岸的B点，乙船到达对岸的C点（未画出），则下列说法正确的是（ ）


A.α = β
B.两船过河时间为$\dfrac{60\sqrt{7}}{7}$s
C.两船航行的合速度大小不同
D.B、C间的距离为90m

答案： 5 ABC 两船同时从A点出发，且同时到达对岸，可知两船在垂直河岸方向的速度大小相等，则有$v_2 cos α = v_2 cos β$，可得α = β，选项A正确；甲船恰好到达正对岸的B点，根据速度的合成法则，可知甲船在垂直河岸方向的速度大小为$v_y = \sqrt{4^2 - 3^2}$ m/s = $\sqrt{7}$ m/s，则两船过河时间为t = $\frac{d}{v_y}$ = $\frac{60}{\sqrt{7}}$ s = $\frac{60\sqrt{7}}{7}$ s，选项B正确；根据速度的合成法则，则两船在静水中速度大小相等，水流速度也相等，但两船船头与水流方向间的夹角不同，因此两船航行的合速度大小不相同，选项C正确；两船过河时间为t = $\frac{60\sqrt{7}}{7}$ s，而乙船沿水流方向的速度大小为$v_{乙x} = v_1 + \sqrt{v_2^2 - v_y^2}$ = 3m/s + $\sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2}$ m/s = 6m/s，则B、C间的距离为x = $v_{乙x}t$ = $\frac{360\sqrt{7}}{7}$ m，选项D错误。