《2025年一遍过高中物理必修第二册人教版》

1 [2025 陕西西安期中考试]如图所示，$P$、$Q$是质量均为$m$的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上。假设把地球看成一个质量分布均匀的球体，$P$、$Q$两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）

A.$Q$质点受地球对其的万有引力小于$P$质点受地球的万有引力
B.$P$、$Q$做匀速圆周运动的向心加速度大小相等
C.$P$质点的重力小于$Q$质点的重力
D.$P$、$Q$质点的重力的方向均指向地心

答案： 1 C 由于$P、Q$两个质点的质量相等，离地心的距离都为地球的半径，由$F = G\frac{Mm}{R^{2}}$可知$P、Q$所受地球的万有引力大小相等，A错误;$P、Q$两个质点同轴转动，角速度相等，但$P、Q$两个质点做圆周运动的半径不同，由$a = \omega^{2}r$可知$P、Q$做匀速圆周运动的向心加速度大小不相等，B错误;由题意可知，若考虑地球的自转，则需万有引力的一个分力充当质点做圆周运动的向心力，另一个分力为质点的重力，由于质点$P$做圆周运动的半径较大，则质点$P$做圆周运动所需向心力较大，且质点$P$位于赤道，结合矢量三角形可知质点$P$的重力小于质点$Q$的重力，C正确;质点$P$位于赤道，所受重力方向指向地心，质点$Q$不在赤道，向心力与万有引力方向不同，由矢量三角形法则可知所受重力方向不指向地心，D错误。

2 设宇宙中有一自转角速度为$\omega$、半径为$R$、质量分布均匀的小行星，在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为$m$的物块，在极点处弹簧测力计的示数为$F$，此处重力加速度大小为$g_1$；在赤道处弹簧测力计的示数为$\frac{3}{4}F$，此处重力加速度大小为$g_2$，则下列关系式正确的是（ ）

A.$g_2 = g_1$
B.$\frac{1}{4}F = m\omega^2R$
C.$\frac{3}{4}F = m\omega^2R$
D.$F = m\omega^2R$

答案： 2 B 在极点处有$F = mg_{1}$，在赤道处有$\frac{3}{4}F = mg_{2}$，根据万有引力和重力的关系有$F - \frac{3}{4}F = m\omega^{2}R$，解得$g_{2} = \frac{3}{4}g_{1}，\frac{1}{4}F = m\omega^{2}R$，故B正确。

3 [2025 河北石家庄联考]万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为$m$的小物体的重力，随着称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为$M$，引力常量为$G$。将地球视为半径为$R$、质量均匀分布的球体。在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为$d$，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是（ ）

A.在北极地面称量时，弹簧测力计的示数$F_0 ＞ G\frac{Mm}{R^2}$
B.在赤道地面称量时，弹簧测力计的示数$F_1 = G\frac{Mm}{R^2}$
C.在北极矿井底部称量时，弹簧测力计的示数$F_2 = G\frac{Mm}{R^3}(R - d)$
D.在轨道半径为$R + h$的空间站称量时，弹簧测力计的示数$F_3 = G\frac{Mm}{(R + h)^2}$

答案： 3 C 物体在两极时，万有引力等于重力，则有$F_{0} = G\frac{Mm}{R^{2}}$，故A错误;在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体$m$随地球一起自转所需要的向心力，则有$F_{1} ＜ G\frac{Mm}{R^{2}}$，故B错误;在北极矿井底部称量时，万有引力等于重力，则有$F_{2} = G\frac{Mm}{(R - d)^{2}} = G\frac{\frac{(R - d)^{3}}{R^{3}}M}{（R - d）^{2}} = G\frac{GMm}{R^{3}}(R - d)$，故C正确;在空间站称量时，物体处于完全失重状态，则有$F_{3} = 0 ＜ G\frac{Mm}{(R + h)^{2}}$，故D错误。

4 过去几千年中，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51Pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的$\frac{1}{20}$，已知太阳的质量约为$2×10^{30}$kg，则该中心恒星的质量约为（ ）

A.$2×10^{30}$kg
B.$1×10^{29}$kg
C.$4×10^{28}$kg
D.$2×10^{28}$kg

答案： 4 A 根据万有引力提供向心力可得$G\frac{Mm}{r^{2}} = m(\frac{2\pi}{T})^{2}r$，可得$M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$，故所求中心恒星与太阳的质量之比为$\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} · \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{1}{20^{3}} · \frac{365^{2}}{4^{2}} \approx 1$，所以该中心恒星的质量$M \approx M_{2} = 2 × 10^{30}kg$，故A正确。

5 [2025 四川攀枝花二模]我国计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。假设航天员登陆月球前先随着陆器和登月飞船绕月球做匀速圆周运动，周期为$T$，登月后在月球表面用弹簧测力计测量一个质量为$m$的物体的重力，当物体静止时，弹簧测力计的示数为$F$。已知引力常量为$G$，着陆器和登月飞船绕月球做圆周运动时距月球表面的高度和月球自转均可忽略不计，则月球的质量为（ ）

A.$\frac{FT}{2\pi Gm}$
B.$\frac{F^3T^2}{4\pi^2Gm^2}$
C.$\frac{F^2T^3}{4\pi^2Gm^3}$
D.$\frac{F^3T^4}{16\pi^4Gm^3}$

答案： 5 D 设月球表面的重力加速度为$g$，月球的半径为$R$，月球的质量为$M$，根据题意有$F = mg$，对于绕月球表面做匀速圆周运动的着陆器和登月飞船，有$\frac{GMm^{\prime}}{R^{2}} = m^{\prime}(\frac{2\pi}{T})^{2}R$，在月球表面物体的重力和万有引力大小相等，有$\frac{GMm^{\prime}}{R^{2}} = m^{\prime}g$，联立解得$M = \frac{F^{3}T^{4}}{16\pi^{4}Gm^{3}}$，D正确。