《2025年一遍过高中物理必修第二册人教版》

1 质量均匀分布、半径为 $ R $ 的球体，在与球心 $ O $ 距离 $ x(x ＞ R) $ 处有一质点 $ A $。现从球体中挖去两个半径为 $ \frac{R}{2} $ 的球体，三个球体相切且球心与切点共线，如图所示。则剩余部分对质点 $ A $ 的万有引力的方向（ ）


A.可能沿 $ F_1 $
B.可能沿 $ F_2 $
C.可能沿 $ F_3 $
D.沿 $ F_1 $、$ F_2 $、$ F_3 $ 方向均有可能

答案： 1 A 在挖去的地方补上相同材料，根据万有引力公式$F = G\frac{Mm}{r^2}$，可知被挖去的上面球对质点$A$的万有引力小于被挖去的下面球对质点$A$的万有引力，两球对质点$A$的合力方向斜向下，图中剩余部分对质点$A$的万有引力的方向应斜向上，合成后沿$F_2$方向，所以剩余部分对质点$A$的万有引力的方向可能沿$F_2$，选项A正确。

2 [2025 江苏苏州中学考试]如图甲所示，两个半径均为 $ R $、质量均为 $ M $ 的均匀球体靠在一起，与两球心相距均为 $ 2R $ 的质量为 $ m $ 的质点受到两球对它的万有引力的合力 $ F_1 $。现紧贴球的边缘各挖去一个半径为 $ \frac{R}{2} $ 的球，如图乙所示，挖去后质点受到的引力的合力为 $ F_2 $，则（ ）

A.$ F_2 = \frac{7}{9}F_1 $
B.$ F_2 = \frac{4}{9}F_1 $
C.$ F_2 = \frac{5}{9}F_1 $
D.$ F_2 = \frac{2}{9}F_1 $

答案： 2 A
第一步：求出两个完整的大球体对质点的引力。
两个完整的均匀大球体对球外质点的引力为$F_1 = 2G\frac{Mm}{(2R)^2}\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}GMm}{4R^2}$，此力可以看成是挖去小球后的剩余部分对质点的引力$F_2$与两个半径为$\frac{R}{2}$的小球对质点的引力$F'$之和，即$F_1 = F_2 + F'$。
第二步：求出两个挖去的小球体对质点的引力。
根据$M = \rho V = \frac{4}{3}\rho\pi R^3$，半径为$\frac{R}{2}$的小球质量为$M' = \rho V' = \frac{4}{3}\rho\pi(\frac{R}{2})^3 = \frac{M}{8}$，两个半径为$\frac{R}{2}$的小球对质点的引力为$F' = 2G\frac{M'm}{(R + \frac{R}{2})^2}\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}GMm}{18R^2}$。
第三步：把两次求出的引力进行合成。
挖去小球后的剩余部分对球外质点的引力为$F_2 = F_1 - F' = \frac{7\sqrt{3}GMm}{36R^2} = \frac{7}{9}F_1$，故选A。

3（多选）[2025 河北廊坊月考]有一半径为 $ R $ 的均匀球体，球心为 $ O_1 $，质量为 $ 8M $，在其内挖去一个半径为 $ \frac{R}{2} $ 的小球，形成球形腔的球心为 $ O_2 $，将小球移出至图示位置与大球相切，球心为 $ O_3 $，图中 $ O_1 $、$ O_2 $、$ O_3 $ 共线。已知引力常量为 $ G $，下列说法正确的是（ ）


A.剩余部分对小球 $ O_3 $ 的引力大小为 $ \frac{23GM^2}{9R^2} $
B.剩余部分对小球 $ O_3 $ 的引力大小为 $ \frac{25GM^2}{7R^2} $
C.若在 $ O_2 $ 空腔内均匀填充密度为原来 $ 3 $ 倍的物质，则新球体对小球 $ O_3 $ 的引力大小为 $ \frac{50GM^2}{9R^2} $
D.若在 $ O_2 $ 空腔内均匀填充密度为原来 $ 3 $ 倍的物质，则新球体对小球 $ O_3 $ 的引力大小为 $ \frac{43GM^2}{9R^2} $

答案： 3 AC 设挖去部分小球的质量为$m$，则由$\rho = \frac{M}{V}$得$\frac{m}{8M} = \frac{\frac{4}{3}\pi(\frac{1}{2}R)^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}$，解得$m = M$，假设将球形空腔填满恢复成均匀球体，大球$O_1$对小球$O_3$的引力大小为$F_1$，则$F_1 = G\frac{8Mm}{(R + \frac{1}{2}R)^2} = \frac{32GM^2}{9R^2}$，填补的小球$O_2$对小球$O_3$的引力大小为$F_2 = G\frac{M'm}{R^2} = \frac{GM^2}{R^2}$，所以剩余部分对小球$O_3$的引力大小为$F = F_1 - F_2 = \frac{23GM^2}{9R^2}$，故A正确，B错误；若在$O_2$空腔内均匀填充密度为原来$3$倍的物质，则填充部分的质量为$M' = 3m = 3M$，所以新填补的小球$O_2$对小球$O_3$的引力大小为$F_2' = G\frac{M'm}{R^2} = \frac{3GM^2}{R^2}$，则新球体对小球$O_3$的引力大小为$F' = F + F_2' = \frac{23GM^2}{9R^2} + \frac{3GM^2}{R^2} = \frac{50GM^2}{9R^2}$，故C正确，D错误。

4（多选）如图所示，在质量为 $ M $ 且均匀分布的半径为 $ R $ 的球内挖去半径为 $ r $ 的球，在球外两球的球心连线上距球表面 $ R $ 的位置放一质量为 $ m $、可视为质点的小球 $ A $。已知 $ r = \frac{1}{4}R $，两球心 $ O $、$ O_1 $ 间距离为 $ \frac{R}{2} $，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。下列说法正确的是（ ）


A.剩余部分对小球 $ A $ 的引力的方向在 $ OA $ 连线上
B.剩余部分对小球 $ A $ 的引力大小为 $ \frac{63GMm}{256R^2} $
C.若将小球 $ A $ 放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的
D.被挖去部分的质量为 $ \frac{M}{64} $

答案：
4 ACD 在半径为$R$的球内挖去半径为$r = \frac{1}{4}R$的球，根据质量与体积的关系可知被挖去部分的质量为$M' = \frac{r^3}{R^3}M = \frac{M}{64}$，
故选项D正确；未挖前的球体对$A$的万有引力为$F = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$，挖去的球体对$A$的万有引力为$F' = \frac{GM'm}{(\frac{R}{2} + R)^2} = \frac{GMm}{144R^2}$，剩余部分对$A$的万有引力为$F'' = F - F' = \frac{35GMm}{144R^2}$，方向在$OA$连线上，故选项A正确，B错误；设球体材料密度为$\rho$，如图所示，对处于空腔内的小球$A$受力分析，挖之前的球对$A$的万有引力大小为$|F_1| = G· \frac{4}{3}\pi r_1^3\rho · m · \frac{1}{r_1^2} = \frac{4G\pi\rho mr_1}{3}$，挖去的球对$A$的万有引力为$|F_2| = G· \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho · m · \frac{1}{r_2^2} = \frac{4G\pi\rho mr_2}{3}$，剩余部分对$A$的万有引力为$F_3$，由力的合成可知，$F_1 = F_2 + F_3$，由于$|F_1| \propto r_1$，$|F_2| \propto r_2$，则矢量三角形与$\triangle OA O_1$相似，则$|F_3| = \frac{4G\pi\rho md}{3}$，方向沿$O_1O$，$F_3$大小、方向均不变，选项C正确。