《2025年一遍过高中物理必修第二册人教版》

13（12分）圆柱形容器的横截面在竖直平面内，如图所示，其半径$R = 1m$，从其内部最高点$A$分别以水平初速度$v_{1}$、$v_{2}$抛出两个小球（均可视为质点），最终分别落在圆弧上的$B$点和$C$点，已知$OB$与$OC$相互垂直，且$OB$与竖直方向的夹角$\theta = 37^{\circ}$。取重力加速度大小$g = 10m/s^{2}$，$\sin37^{\circ}=0.6$，$\cos37^{\circ}=0.8$，不计空气阻力，求：
（1）小球从被抛出到落在$B$点的时间$t_{1}$；
（2）小球被抛出时的初速度$v_{1}$、$v_{2}$的大小之比；
（3）小球到达$C$点时的速度大小$v_{C}$。

答案： 13 答案
(1) 0.6 s
(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) $\sqrt{34} m/s$
解：
(1) 根据平抛运动规律，对落在 B 点的小球有 $R + R \cos \theta = \frac{1}{2}gt_1^2$(2 分)
解得 $t_1 = 0.6 s$(1 分)
(2) 根据平抛运动规律，对落在 B 点的小球有 $R \sin \theta = v_1 t_1$(1 分)
解得 $v_1 = 1 m/s$
对落在 C 点的小球有 $R + R \sin \theta = \frac{1}{2}gt_2^2$(1 分)
$R \cos \theta = v_2 t_2$(1 分)
解得 $t_2 = \frac{2\sqrt{2}}{5} s$，$v_2 = \sqrt{2} m/s$(2 分)
(3) 对落在 C 点的小球，竖直方向的分速度大小 $v_y = gt_2$(1 分)
解得 $v_y = 4\sqrt{2} m/s$(1 分)
所以 $v_C = \sqrt{v_y^2 + v_2^2} = \sqrt{34} m/s$(1 分)

14（14分）[2025四川雅安二模]如图所示，$O$是倾角为$\theta$的固定光滑斜面（足够长）上的一个点，从$O$点正上方距离$O$点高度为$h$的$A$点向斜面水平抛出一个小球（可视为质点），小球垂直打在斜面上后反向弹回，且小球反弹后瞬间的速度大小为反弹前瞬间速度大小的一半。重力加速度大小为$g$，$\tan\theta = 2$，不计空气阻力。求：
（1）小球从$A$点抛出时的速度大小$v_{0}$；
（2）小球垂直打在斜面上反弹后到达的最高点距离$O$点的高度$h'$；
（3）小球垂直打在斜面上反弹后再次打在斜面上的位置到$O$点的距离$s$。

答案： 14 答案
(1) $\frac{2\sqrt{2gh}}{3}$
(2) $\frac{11h}{12}$
(3) $\frac{2\sqrt{5h}}{3}$
解：
(1) 设小球垂直打在斜面前在空中运动的时间为 $t_0$，对小球垂直打在斜面前瞬间的速度分解，结合几何关系有 $\tan \theta = \frac{v_0}{gt_0}$(1 分)
过小球打在斜面的点作 AO 的垂线，结合几何关系有 $\tan \theta = \frac{h - \frac{1}{2}gt_0^2}{v_0 t_0}$(1 分)
解得 $v_0 = \frac{2\sqrt{2gh}}{3}$，$t_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{3g}$(1 分)
(2) 小球垂直打在斜面前瞬间的速度大小 $v = \frac{v_0}{\sin \theta}$
解得 $v = \frac{\sqrt{10gh}}{3}$(1 分)
设小球从反弹后至到达最高点的过程在竖直方向上的位移大小为 $h_1$，则 $(\frac{v \cos \theta}{2})^2 = 2gh_1$(1 分)
解得 $h_1 = \frac{h}{36}$(1 分)
根据几何关系有 $h' = h + h_1 - \frac{1}{2}gt_0^2$(1 分)
解得 $h' = \frac{11h}{12}$(1 分)
(3) 设小球从反弹后至再次打在斜面上所用的时间为 $t$，将小球的运动沿斜面方向和垂直斜面方向分解，在垂直斜面方向上有 $\frac{v}{2} = g \cos \theta · \frac{t}{2}$(1 分)
解得 $t = \frac{5\sqrt{2gh}}{3g}$(1 分)
该过程中小球沿斜面方向上的位移大小 $x = \frac{1}{2}g \sin \theta · t^2$(1 分)
解得 $x = \frac{10\sqrt{5h}}{9}$(1 分)
根据几何关系可知小球第一次垂直打在斜面的位置与 O 的距离 $x_1 = \frac{h - \frac{1}{2}gt_0^2}{\sin \theta} = \frac{4\sqrt{5h}}{9}$(1 分)
则 $s = x - x_1 = \frac{2\sqrt{5h}}{3}$(1 分)