《2025年一遍过高中物理必修第二册人教版》

6 [2025 安徽蚌埠期末考试]2025 年 3 月 12 日，我国成功将“千帆星座”第五批组网卫星送入预定轨道。“千帆星座”将构建覆盖全球的卫星互联网系统，采用分阶段实施的多层低轨道星座设计，其轨道高度在 160 km 至 2 000 km 之间。已知地球静止卫星的高度约为 36 000 km，则下列说法正确的是（ ）

A.所有组网卫星轨道平面都与赤道平面垂直
B.组网卫星的速度大于地球静止卫星的速度
C.组网卫星的运行周期大于地球的自转周期
D.组网卫星的加速度小于地球静止卫星的加速度

答案： B 所有组网卫星均绕地心做匀速圆周运动，其轨道平面不一定都与赤道平面垂直，A错误；根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r = ma$，可得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$，$a = \frac{GM}{r^{2}}$，由于组网卫星的轨道半径较小，所以其速度大于地球静止卫星的速度，周期小于地球静止卫星的周期，即小于地球的自转周期，加速度大于地球静止卫星的加速度，B正确，CD错误。

7 如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为 $ 2\theta $；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为 $ T_0 $，引力常量为 $ G $，根据题中条件，可求出（ ）


A.地球的平均密度为 $ \dfrac{3\pi}{GT_0^2 \sin^3 \theta} $
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 $ \sin^2 2\theta $
C.卫星Ⅱ的周期为 $ \dfrac{T_0}{\sqrt{\sin^3 \theta}} $
D.卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号的时间为 $ \dfrac{(\pi + 2\theta)T_0}{2\pi} \sqrt{\sin^3 \theta} $

答案： A 设地球质量为$M$，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为$r$和$R$，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为$T_{0}$，近地卫星Ⅱ的周期为$T$，根据开普勒第三定律得$\frac{r^{3}}{T_{0}^{2}} = \frac{R^{3}}{T^{2}}$，由题图得$\sin \theta = \frac{R}{r}$，可得卫星Ⅱ的周期$T = T_{0}\sqrt{\sin^{3} \theta}$，故选项C错误；对于卫星Ⅱ，$G\frac{Mm}{R^{2}} = m(\frac{2\pi}{T})^{2}R$，地球平均密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^{3}}$，联立以上各式，可得$\rho = \frac{3\pi}{GT_{0}^{2}\sin^{3} \theta}$，故选项A正确；对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得$a = \frac{GM}{r_{0}^{2}}$，所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为$\frac{a_{Ⅰ}}{a_{Ⅱ}} = \frac{R^{2}}{r^{2}} = \sin^{2} \theta$，故选项B错误；当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，该区域对应的圆心角为$\pi + 2\theta$，设这段时间为$t$，若两卫星同向运行，则有$(\omega_{Ⅱ} - \omega_{Ⅰ})t = \pi + 2\theta$，其中$\omega_{Ⅱ} = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{T_{0}\sqrt{\sin^{3} \theta}}$，$\omega_{Ⅰ} = \frac{2\pi}{T_{0}}$，解得$t = \frac{(\pi + 2\theta)T_{0}\sqrt{\sin^{3} \theta}}{2\pi(1 - \sqrt{\sin^{3} \theta})}$，若两卫星相向运行，则有$(\omega_{Ⅱ} + \omega_{Ⅰ})t = \pi + 2\theta$，解得$t = \frac{(\pi + 2\theta)T_{0}\sqrt{\sin^{3} \theta}}{2\pi(1 + \sqrt{\sin^{3} \theta})}$，故选项D错误。

8 有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示，中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，行星Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，半径分别为 $ r_1 $、$ r_3 $，行星Ⅱ为椭圆轨道，半长轴 $ a = r_3 $，与行星Ⅰ轨道在 $ B $ 点相切，下列说法正确的是（ ）


A.行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等
B.行星Ⅱ在 $ P $ 点与行星Ⅲ在 $ D $ 点的加速度相同
C.行星Ⅲ的速率小于行星Ⅱ在 $ B $ 点的速率
D.行星Ⅰ的速率小于行星Ⅱ在 $ B $ 点的速率

答案： ACD 由开普勒第三定律知$\frac{a^{3}}{T_{2}^{2}} = \frac{r_{3}^{3}}{T_{3}^{2}}$，又$a = r_{3}$，则有$T_{2} = T_{3}$，故A正确；由牛顿第二定律可得$\frac{GMm}{r^{2}} = ma'$，则行星Ⅱ在P点与行星Ⅲ在D点时的加速度大小相等，但方向不同，故B错误；由$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知行星Ⅲ的速率小于行星Ⅰ的速率，又行星Ⅱ在B点做离心运动，故行星Ⅰ的速率小于行星Ⅱ在B点的速率，行星Ⅲ的速率小于行星Ⅱ在B点的速率，故CD正确。

9 [2025 山东青岛调研]我国计划完成下一代北斗系统关键技术攻关，形成由地球同步卫星和中轨道卫星组成的星座体系。如图甲所示，同步卫星 $ a $ 和中轨道卫星 $ b $ 在同一平面内环绕地球同向做匀速圆周运动。两卫星之间距离 $ d $ 随时间 $ t $ 变化关系如图乙所示。已知地球半径为 $ R $，地球表面重力加速度为 $ g $，不考虑卫星间的作用力，下列说法正确的是（ ）

A.$ a $ 与 $ b $ 的轨道半径之比为 $ 2:1 $
B.$ a $ 与 $ b $ 的线速度大小之比为 $ 1:2 $
C.图乙中 $ t_0 $ 的值为 $ \dfrac{24}{7} $ h
D.卫星 $ b $ 轨道处的重力加速度大小为 $ \dfrac{g}{4} $

答案： BC 由题图乙可知，$a$、$b$两卫星的最近距离为$4.95R$，最远距离为$8.25R$，则$r_{a} + r_{b} = 8.25R$，$r_{a} - r_{b} = 4.95R$，解得$r_{a} = 6.6R$，$r_{b} = 1.65R$，故$r_{a}:r_{b} = 4:1$，A错误；由万有引力提供向心力，有$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，故$v_{a}:v_{b} = 1:2$，B正确；由开普勒第三定律，有$\frac{r_{a}^{3}}{T_{a}^{3}} = \frac{r_{b}^{3}}{T_{b}^{3}}$，解得$\frac{T_{a}}{T_{b}} = \frac{8}{1}$，根据圆周运动关系可得$(\frac{2\pi}{T_{b}} - \frac{2\pi}{T_{a}})t_{0} = 2\pi$，代入$T_{a} = 24h$，解得$t_{0} = \frac{24}{7}h$，C正确；在地球表面有$\frac{GMm}{R^{2}} = mg$，卫星$b$的加速度满足$\frac{GMm}{(1.65R)^{2}} = ma$，故$a = \frac{g}{(1.65)^{2}}$，D错误。

10 已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为 0。$ P $、$ Q $ 两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小 $ g $ 随物体到星球中心的距离 $ r $ 变化的图像如图所示。关于 $ P $、$ Q $ 星球，下列说法正确的是（ ）


A.质量相同
B.密度相同
C.第一宇宙速度大小之比为 $ 2:1 $
D.同步卫星距星球表面的高度之比为 $ 1:2 $

答案： BD 由题图可知，两星球表面的重力加速度大小和半径之比都是$1:2$，由$\frac{GMm}{r_{表}^{2}} = mg_{表}$可得$M = \frac{g_{表}r_{表}^{2}}{G}$，则两星球的质量之比$\frac{M_{P}}{M_{Q}} = \frac{1}{8}$，选项A错误；由$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi r_{表}^{3}}$可得$\rho = \frac{3g_{表}}{4\pi Gr_{表}}$，故两星球密度相同，选项B正确；由$mg_{表} = m\frac{v^{2}}{r_{表}}$可得$v = \sqrt{g_{表}r_{表}}$，则两星球的第一宇宙速度大小之比$\frac{v_{P}}{v_{Q}} = \frac{1}{2}$，选项C错误；由$\frac{GMm}{r_{0}^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}r_{0}$，$GM = g_{表}r_{表}^{2}$可得$r_{0} = \sqrt[3]{\frac{g_{表}r_{表}^{2}T_{0}^{2}}{4\pi^{2}}}$，又两星球自转角速度相同，则两星球同步卫星的轨道半径之比$\frac{r_{P}}{r_{Q}} = \frac{1}{2}$，又因为两星球的半径之比为$1:2$，故同步卫星距星球表面的高度之比也为$1:2$，选项D正确。