《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

23. （本题5分）试说明$k$为任何实数时，方程$x^{2}+kx - 1=0$必有两个不相等的实数根。

答案： 解：$\Delta=k^{2}-4×1×(-1)=k^{2}+4$，因为$k^{2}\geq0$，所以$k^{2}+4\geq4＞0$，无论$k$为何实数，方程必有两个不相等的实数根。

24.（本题6分）
如图，某工人师傅要在一个面积为$15m^{2}$的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边比小正方形的边长1m。求裁剪后剩下的阴影部分的面积。
（第24题）

答案： 设小正方形的边长为$x$m，则大正方形的边长为$(x + 1)$m。
根据矩形面积为$15m^{2}$，可得方程$x(2x + 1)=15$（或$(x + 1)(x + 1 + x)=15$）。
整理得$2x^{2}+x - 15=0$，
因式分解$(2x - 5)(x + 3)=0$，
解得$x_{1}=\frac{5}{2}$，$x_{2}=- 3$（边长不能为负，舍去）。
小正方形边长$\frac{5}{2}m$，大正方形边长$\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}m$。
两个正方形面积和为$(\frac{5}{2})^{2}+(\frac{7}{2})^{2}=\frac{25}{4}+\frac{49}{4}=\frac{74}{4}=\frac{37}{2}m^{2}$。
阴影部分面积为$15-\frac{37}{2}=\frac{30}{2}-\frac{37}{2}=-\frac{7}{2}$（此处计算错误，应为$15 - (\frac{5}{2})^{2}-(\frac{7}{2})^{2}=15 - \frac{25}{4}-\frac{49}{4}=15 - \frac{74}{4}=15 - 18.5=- 3.5$，显然错误，重新分析矩形边长）
正确矩形的长为$x + (x + 1)=2x + 1$，宽为$x + 1$（或长为$x + 1$，宽为$x + (x + 1)=2x + 1$），面积方程为$(2x + 1)(x + 1)=15$。
展开$2x^{2}+3x + 1=15$，即$2x^{2}+3x - 14=0$，
因式分解$(2x + 7)(x - 2)=0$，解得$x = 2$（$x=-\frac{7}{2}$舍去）。
小正方形边长2m，大正方形边长3m。
两个正方形面积和为$2^{2}+3^{2}=4 + 9=13m^{2}$。
阴影部分面积为$15 - 13=2m^{2}$。
答：剩下的阴影部分的面积为$2m^{2}$。