《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

21. （本题6分）如图，半圆的直径AB = 40，C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分的面积S。

答案： $\frac{200\pi}{3} - 100\sqrt{3}$
解析：AB=40，半径20，∠AOC=60°，∠AOD=120°。S阴影=S扇形AOD - S扇形AOC - S△AOC + S△AOD，即$\frac{120\pi × 20^2}{360} - \frac{60\pi × 20^2}{360} - (\frac{\sqrt{3}}{4} × 20^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} × 20^2) = \frac{200\pi}{3} - 100\sqrt{3}$。

22. （本题6分）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切。
（1）请用直尺和圆规作出该半圆（要求保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）说明你所画的半圆与AB、BC都相切的理由；
（3）若AC = 4，BC = 3，求半圆的半径r。

答案： （3）$\frac{3}{2}$
解析：（3）AC=4，BC=3，AB=5。圆心O在AC上，OD⊥AB于D，OD=r，OC=r，AO=4 - r。由相似三角形得$\frac{r}{3} = \frac{4 - r}{5}$，解得$r = \frac{3}{2}$。

23. （本题6分）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是边AB上一点，且∠A = 2∠DCB，E是边BC上一点，以EC为直径的⊙O经过点D。
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE = EO，求BD的长。

答案： （2）2
解析：（2）设EO=BE=x，半径OE=OD=x，OC=2x。CD弦心距1，OD=x，由勾股定理$x^2 = 1^2 + (\frac{CD}{2})^2$。∠A=2∠DCB，设∠DCB=θ，∠A=2θ，∠B=90° - 2θ，∠ODC=90° - θ，∠BDO=90°，BD=BO×sinθ，BO=3x，BD=3x×sinθ，由三角函数得BD=2。