《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

24. （本题8分）如图1，△ABC的周长为l，内切圆⊙O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被分成三个小三角形，用$S_{\triangle ABC}$表示△ABC的面积。
∵$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} + S_{\triangle OCA}$，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot r + \frac{1}{2}BC \cdot r + \frac{1}{2}CA \cdot r = \frac{1}{2}lr$（可作为三角形内切圆半径公式）。
（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形内切圆的半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图2）且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为$a_1$、$a_2$、$a_3$、…、$a_n$，合理猜想其内切圆的半径公式（不需要说明理由）。

答案： （1）2；（2）$r = \frac{2S}{a + b + c + d}$；（3）$r = \frac{2S}{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}$
解析：（1）直角三角形面积30，周长30，$r = \frac{2S}{l} = \frac{60}{30} = 2$；（2）四边形面积$S = \frac{1}{2}(a + b + c + d)r$，所以$r = \frac{2S}{a + b + c + d}$。