《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

18. （本题6分）请用尺规作出符合下列要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）。
（1）已知线段AB，试确定一点C，使得∠ACB = 90°，并说明这样作图的理由；
（2）已知△ABD，试确定一点C，使得∠ACB + ∠ADB = 180°，并说明这样作图的理由。

答案： （1）作AB中垂线交AB于O，以O为圆心OA为半径作圆，圆上除A、B外任意点C即为所求，理由：直径所对圆周角为直角；（2）作△ABD外接圆，圆上除A、B外任意点C即为所求，理由：圆内接四边形对角互补。

19. （本题6分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，且BE平分∠ABC。
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD = 2，AE = 2$\sqrt{3}$，求⊙O的面积。

答案： （1）相切，理由：连接OE，OE=OB，∠OBE=∠OEB，BE平分∠ABC，∠OBE=∠CBE，所以∠OEB=∠CBE，OE//BC，∠C=90°，∠OEA=90°，即OE⊥AC，AC是切线；（2）设⊙O半径r，AO=2 + r，AE=2$\sqrt{3}$，由勾股定理$(2 + r)^2 = (2\sqrt{3})^2 + r^2$，解得r=2，面积$4\pi$。

20. （本题6分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D。BD与ID相等吗？请说明理由。

答案： 相等，理由：I是内心，∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI。∠DBI=∠DBC + ∠CBI，∠DIB=∠BAD + ∠ABI，因为∠DBC=∠CAD=∠BAD，所以∠DBI=∠DIB，BD=ID。