《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

19.（本题6分）
如图，⊙O的直径AB=4，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC。
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M。你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP的大小。

答案： （1）连接OC，因为PC是切线，所以OC⊥PC。AB=4，半径OC=2。在Rt△POC中，∠CPA=30°，tan∠CPA=OC/PC，即tan30°=2/PC，PC=2/tan30°=2√3。
（2）不变，45°。设∠CPA=2α，PM平分∠CPA，∠CPM=α。∠POC=90°-2α，OA=OC，∠OAC=∠OCA=(180°-∠POC)/2=(180°-(90°-2α))/2=45°+α。∠CMP=∠OAC - ∠CPM=45°+α - α=45°。

20.（本题6分）
（1）作已知△ABC的内切圆⊙I（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究∠AIC和∠B之间的数量关系。

答案： （1）图略（作两角平分线交于点I，以I为圆心，I到边距离为半径作圆）。
（2）∠AIC=90°+1/2∠B。因为I是内心，∠IAC=1/2∠BAC，∠ICA=1/2∠BCA。∠AIC=180° - (∠IAC + ∠ICA)=180° - 1/2(∠BAC + ∠BCA)=180° - 1/2(180° - ∠B)=90° + 1/2∠B。